Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.13 Мордкович — Подробные Ответы
Разложите многочлен на множители:
а) \( x^2 — 2xc + c^2 — d^2 \)
б) \( a^2 + 2a — b^2 + 1 \)
в) \( c^2 — d^2 + 6c + 9 \)
г) \( r^2 — s^2 — 10s — 25 \)
а) \(x^2 — 2xc + c^2 — d^2 = (x — c)^2 — d^2 = (x — c — d)(x — c + d)\).
б) \(a^2 + 2a — b^2 + 1 = (a^2 + 2a + 1) — b^2 = (a + 1)^2 — b^2 =\)
\(= (a + 1 — b)(a + 1 + b)\).
в) \(c^2 — d^2 + 6c + 9 = (c^2 + 6c + 9) — d^2 = (c + 3)^2 — d^2 =\)
\(= (c + 3 — d)(c + 3 + d)\).
г) \(r^2 — s^2 — 10s — 25 = r^2 — (s^2 + 10s + 25) = r^2 — (s + 5)^2 =\)
\(= (r — s — 5)(r + s + 5)\).
в этом задании многочлены содержат четыре члена и на первый взгляд не поддаются простому разложению. однако ключевая идея — перегруппировать слагаемые так, чтобы выделить полный квадрат двучлена, а затем получить разность двух квадратов. такая стратегия позволяет полностью разложить выражение на два множителя.
вспомним полезные формулы:
— квадрат разности: \((u — v)^2 = u^2 — 2uv + v^2\);
— квадрат суммы: \((u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2\);
— разность квадратов: \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\).
рассмотрим каждый пункт.
а)
\[
x^2 — 2xc + c^2 — d^2
\]
шаг 1. первые три члена — это квадрат разности:
\[
x^2 — 2xc + c^2 = (x — c)^2.
\]
шаг 2. тогда всё выражение принимает вид:
\[
(x — c)^2 — d^2.
\]
шаг 3. это разность квадратов:
\[
= \bigl((x — c) — d\bigr)\bigl((x — c) + d\bigr) = (x — c — d)(x — c + d).
\]
б)
\[
a^2 + 2a — b^2 + 1
\]
шаг 1. перегруппируем члены: соберём те, что не содержат \(b\):
\[
(a^2 + 2a + 1) — b^2.
\]
шаг 2. выражение в скобках — полный квадрат:
\[
a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2.
\]
шаг 3. получаем разность квадратов:
\[
(a + 1)^2 — b^2 = \bigl(a + 1 — b\bigr)\bigl(a + 1 + b\bigr).
\]
в)
\[
c^2 — d^2 + 6c + 9
\]
шаг 1. перегруппируем: объединим члены с \(c\):
\[
(c^2 + 6c + 9) — d^2.
\]
шаг 2. трёхчлен — квадрат суммы:
\[
c^2 + 6c + 9 = (c + 3)^2.
\]
шаг 3. получаем:
\[
(c + 3)^2 — d^2 = \bigl(c + 3 — d\bigr)\bigl(c + 3 + d\bigr).
\]
г)
\[
r^2 — s^2 — 10s — 25
\]
шаг 1. здесь удобно сгруппировать последние три члена, вынеся минус:
\[
r^2 — (s^2 + 10s + 25).
\]
шаг 2. выражение в скобках — полный квадрат:
\[
s^2 + 10s + 25 = (s + 5)^2.
\]
шаг 3. теперь имеем разность квадратов:
\[
r^2 — (s + 5)^2 = \bigl(r — (s + 5)\bigr)\bigl(r + (s + 5)\bigr) = (r — s — 5)(r + s + 5).
\]
ответ:
а) \((x — c — d)(x — c + d)\)
б) \((a + 1 — b)(a + 1 + b)\)
в) \((c + 3 — d)(c + 3 + d)\)
г) \((r — s — 5)(r + s + 5)\)
