Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.14 Мордкович — Подробные Ответы
Разложите многочлен на множители:
а) \( x^2 + 2xy — m^2 + y^2 \)
б) \( c^2 — a^2 + 2ab — b^2 \)
в) \( m^2 — n^2 — 8m + 16 \)
г) \( 9 — p^2 + q^2 — 6q \)
а) \(x^2 + 2xy — m^2 + y^2 = (x + y)^2 — m^2 = (x + y — m)(x + y + m)\).
б) \(c^2 — a^2 + 2ab — b^2 = c^2 — (a^2 — 2ab + b^2) = c^2 — (a — b)^2 =\)
\(= (c — a + b)(c + a — b)\).
в) \(m^2 — n^2 — 8m + 16 = (m^2 — 8m + 16) — n^2 = (m — 4)^2 — n^2 =\)
\(= (m — 4 — n)(m — 4 + n)\).
г) \(9 — p^2 + q^2 — 6q = (q^2 — 6q + 9) — p^2 = (q — 3)^2 — p^2 =\)
\(= (q — 3 — p)(q — 3 + p)\).
рассмотрим каждый случай.
а)
\[
x^2 + 2xy — m^2 + y^2
\]
шаг 1. перегруппируем члены, собрав вместе те, что содержат \(x\) и \(y\):
\[
(x^2 + 2xy + y^2) — m^2.
\]
шаг 2. выражение в скобках — квадрат суммы:
\[
x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2.
\]
шаг 3. теперь имеем разность квадратов:
\[
(x + y)^2 — m^2 = \bigl((x + y) — m\bigr)\bigl((x + y) + m\bigr) = (x + y — m)(x + y + m).
\]
б)
\[
c^2 — a^2 + 2ab — b^2
\]
шаг 1. выделим члены, содержащие \(a\) и \(b\):
\[
c^2 — (a^2 — 2ab + b^2).
\]
шаг 2. в скобках — квадрат разности:
\[
a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2.
\]
шаг 3. получаем разность квадратов:
\[
c^2 — (a — b)^2 = \bigl(c — (a — b)\bigr)\bigl(c + (a — b)\bigr).
\]
шаг 4. упростим каждую скобку:
первая: \(c — (a — b) = c — a + b\),
вторая: \(c + (a — b) = c + a — b\).
итог:
\[
(c — a + b)(c + a — b).
\]
в)
\[
m^2 — n^2 — 8m + 16
\]
шаг 1. перегруппируем, выделив члены с \(m\):
\[
(m^2 — 8m + 16) — n^2.
\]
шаг 2. квадратный трёхчлен — полный квадрат:
\[
m^2 — 8m + 16 = (m — 4)^2.
\]
шаг 3. разность квадратов:
\[
(m — 4)^2 — n^2 = \bigl((m — 4) — n\bigr)\bigl((m — 4) + n\bigr) = (m — 4 — n)(m — 4 + n).
\]
г)
\[
9 — p^2 + q^2 — 6q
\]
шаг 1. перегруппируем члены с \(q\):
\[
(q^2 — 6q + 9) — p^2.
\]
шаг 2. трёхчлен — квадрат разности:
\[
q^2 — 6q + 9 = (q — 3)^2.
\]
шаг 3. получаем разность квадратов:
\[
(q — 3)^2 — p^2 = \bigl((q — 3) — p\bigr)\bigl((q — 3) + p\bigr) = (q — 3 — p)(q — 3 + p).
\]
можно также записать как \((q — p — 3)(q + p — 3)\), но форма, принятая в оригинале, сохраняет порядок вычитания и сложения.
ответ:
а) \((x + y — m)(x + y + m)\)
б) \((c — a + b)(c + a — b)\)
в) \((m — 4 — n)(m — 4 + n)\)
г) \((q — 3 — p)(q — 3 + p)\)
