Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.16 Мордкович — Подробные Ответы
Разложите многочлен на множители:
а) \( x^2(x — 3) — 2x(x — 3) + (x — 3) \)
б) \( (1 — a)^2 — 4a(1 — a)^2 + 4a^2(1 — a)^2 \)
а) \(x^2(x — 3) — 2x(x — 3) + x — 3 = (x — 3)(x^2 — 2x + 1) =\)
\(= (x — 3)(x — 1)^2\).
б) \((1 — a)^2 — 4a(1 — a)^2 + 4a^2(1 — a)^2 = (1 — a)^2(1 — 4a + 4a^2) =\)
\(= (1 — a)^2(1 — 2a)^2\).
рассмотрим каждый пункт.
а)
\[
x^2(x — 3) — 2x(x — 3) + x — 3
\]
шаг 1. заметим, что каждое слагаемое содержит множитель \((x — 3)\):
— первое: \(x^2(x — 3)\),
— второе: \(-2x(x — 3)\),
— третье: \(x — 3 = 1 \cdot (x — 3)\).
следовательно, можно вынести \((x — 3)\) за скобки:
\[
= (x — 3)\bigl(x^2 — 2x + 1\bigr).
\]
шаг 2. трёхчлен в скобках — полный квадрат:
\[
x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2.
\]
шаг 3. окончательное разложение:
\[
(x — 3)(x — 1)^2.
\]
б)
\[
(1 — a)^2 — 4a(1 — a)^2 + 4a^2(1 — a)^2
\]
шаг 1. все три члена содержат общий множитель \((1 — a)^2\). вынесем его:
\[
= (1 — a)^2\bigl(1 — 4a + 4a^2\bigr).
\]
шаг 2. рассмотрим выражение в скобках:
\[
1 — 4a + 4a^2.
\]
перепишем в стандартном порядке:
\[
4a^2 — 4a + 1.
\]
это полный квадрат:
\[
4a^2 — 4a + 1 = (2a)^2 — 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = (2a — 1)^2.
\]
однако в оригинальном решении сохранён порядок \(1 — 4a + 4a^2 = (1 — 2a)^2\), что эквивалентно, так как \((1 — 2a)^2 = (2a — 1)^2\).
шаг 3. подставим обратно:
\[
(1 — a)^2(1 — 2a)^2.
\]
альтернативно, можно записать как \(\bigl((1 — a)(1 — 2a)\bigr)^2\), но разложение на отдельные квадраты соответствует логике пошагового преобразования.
ответ:
а) \((x — 3)(x — 1)^2\)
б) \((1 — a)^2(1 — 2a)^2\)
