Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.17 Мордкович — Подробные Ответы
Разложите многочлен на множители:
а) \( a^3 + 8b^3 + a^2 — 2ab + 4b^2 \)
б) \( 8c^3 — d^3 + 4c^2 + 2cd \)
a) a³ + 8b³ + a² − 2ab + 4b² = (a³ + 8b³) + (a² − 2ab + 4b²) =
= (a + 2b)(a² − 2ab + 4b²) + (a² − 2ab + 4b²) =
= (a² − 2ab + 4b²)(a + 2b + 1).
б) 8c³ − d³ + 4c² + 2cd + d² = (8c³ − d³) + (4c² + 2cd + d²) =
= (2c − d)(4c² + 2cd + d²) + (4c² + 2cd + d²) =
= (4c² + 2cd + d²)(2c − d + 1).
в каждом из приведённых выражений требуется разложить многочлен на множители. для этого используется комбинация следующих приёмов:
— распознавание суммы или разности кубов,
— группировка членов,
— вынесение общего множителя,
— применение формул сокращённого умножения.
а)
рассмотрим выражение:
\[
a^3 + 8b^3 + a^2 — 2ab + 4b^2.
\]
заметим, что число \(8b^3\) можно представить как куб: \(8b^3 = (2b)^3\).
таким образом, первые два слагаемых образуют сумму кубов: \(a^3 + (2b)^3\).
вспомним формулу суммы кубов:
\[
u^3 + v^3 = (u + v)(u^2 — uv + v^2).
\]
применяя её, получаем:
\[
a^3 + 8b^3 = (a + 2b)(a^2 — 2ab + 4b^2).
\]
теперь обратим внимание на оставшиеся три слагаемых: \(a^2 — 2ab + 4b^2\).
они в точности совпадают со вторым множителем в разложении суммы кубов.
поэтому исходное выражение можно переписать в виде суммы двух слагаемых, имеющих общий множитель:
\[
(a + 2b)(a^2 — 2ab + 4b^2) + 1 \cdot (a^2 — 2ab + 4b^2).
\]
выносим общий множитель \(a^2 — 2ab + 4b^2\) за скобки:
\[
(a^2 — 2ab + 4b^2) \big( (a + 2b) + 1 \big) = (a^2 — 2ab + 4b^2)(a + 2b + 1).
\]
это и есть полное разложение на множители.
б)
теперь рассмотрим второе выражение:
\[
8c^3 — d^3 + 4c^2 + 2cd + d^2.
\]
здесь \(8c^3 = (2c)^3\), а значит, первые два члена образуют разность кубов: \((2c)^3 — d^3\).
формула разности кубов:
\[
u^3 — v^3 = (u — v)(u^2 + uv + v^2).
\]
применим её:
\[
8c^3 — d^3 = (2c — d)(4c^2 + 2cd + d^2).
\]
оставшиеся три слагаемых — \(4c^2 + 2cd + d^2\) — в точности совпадают с квадратным множителем в разложении разности кубов.
следовательно, всё выражение можно записать как:
\[
(2c — d)(4c^2 + 2cd + d^2) + 1 \cdot (4c^2 + 2cd + d^2).
\]
выносим общий множитель \(4c^2 + 2cd + d^2\):
\[
(4c^2 + 2cd + d^2) \big( (2c — d) + 1 \big) = (4c^2 + 2cd + d^2)(2c — d + 1).
\]
это и есть искомое разложение.
ответ:
а) \(a^3 + 8b^3 + a^2 — 2ab + 4b^2 = (a^2 — 2ab + 4b^2)(a + 2b + 1)\)
б) \(8c^3 — d^3 + 4c^2 + 2cd + d^2 = (4c^2 + 2cd + d^2)(2c — d + 1)\)
