Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.18 Мордкович — Подробные Ответы
Разложите многочлен на множители:
а) \( x^3 + 8y^3 + x^2 + 4xy + 4y^2 \)
б) \( 8p^3 — q^3 + 4p^2 — 4pq \)
а) \(x^3 + 8y^3 + x^2 + 4xy + 4y^2 = (x^3 + 8y^3) + (x^2 + 4xy + 4y^2) =\)
\(= (x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2) + (x + 2y)^2 =\)
\(= (x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2 + x + 2y)\).
б) \(8p^3 — q^3 + 4p^2 — 4pq + q^2 = (8p^3 — q^3) + (4p^2 — 4pq + q^2) =\)
\(= (2p — q)(4p^2 + 2pq + q^2) + (2p — q)^2 =\)
\(= (2p — q)(4p^2 + 2pq + q^2 + 2p — q)\).
— сумма кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\);
— разность кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\);
— квадрат двучлена: \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\), или \(a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2\).
главное наблюдение — после преобразования обеих групп появляется один и тот же множитель, который затем можно вынести за скобки.
рассмотрим каждый пункт.
а)
\[
x^3 + 8y^3 + x^2 + 4xy + 4y^2
\]
шаг 1. сгруппируем первые два и последние три члена:
\[
(x^3 + 8y^3) + (x^2 + 4xy + 4y^2).
\]
шаг 2. первая группа — сумма кубов, так как \(8y^3 = (2y)^3\):
\[
x^3 + (2y)^3 = (x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2).
\]
шаг 3. вторая группа — полный квадрат:
\[
x^2 + 4xy + 4y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2 = (x + 2y)^2.
\]
шаг 4. теперь запишем всё выражение:
\[
(x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2) + (x + 2y)^2.
\]
шаг 5. оба слагаемых содержат общий множитель \((x + 2y)\). вынесем его:
\[
= (x + 2y)\bigl(x^2 — 2xy + 4y^2 + (x + 2y)\bigr).
\]
шаг 6. упростим выражение в скобках, раскрыв внутренние скобки:
\[
x^2 — 2xy + 4y^2 + x + 2y.
\]
это выражение не является полным квадратом и не раскладывается дальше над рациональными числами, поэтому оставляем его как есть.
итоговое разложение:
\[
(x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2 + x + 2y).
\]
б)
\[
8p^3 — q^3 + 4p^2 — 4pq + q^2
\]
шаг 1. сгруппируем первые два и последние три члена:
\[
(8p^3 — q^3) + (4p^2 — 4pq + q^2).
\]
шаг 2. первая группа — разность кубов, так как \(8p^3 = (2p)^3\):
\[
(2p)^3 — q^3 = (2p — q)\bigl((2p)^2 + 2p \cdot q + q^2\bigr) = (2p — q)(4p^2 + 2pq + q^2).
\]
шаг 3. вторая группа — квадрат разности:
\[
4p^2 — 4pq + q^2 = (2p)^2 — 2 \cdot 2p \cdot q + q^2 = (2p — q)^2.
\]
шаг 4. запишем сумму:
\[
(2p — q)(4p^2 + 2pq + q^2) + (2p — q)^2.
\]
шаг 5. общий множитель — \((2p — q)\). выносим его:
\[
= (2p — q)\bigl(4p^2 + 2pq + q^2 + (2p — q)\bigr).
\]
шаг 6. упростим выражение в скобках:
\[
4p^2 + 2pq + q^2 + 2p — q.
\]
это выражение не раскладывается дальше на рациональные множители, поэтому оставляем его в таком виде.
итоговое разложение:
\[
(2p — q)(4p^2 + 2pq + q^2 + 2p — q).
\]
ответ:
а) \((x + 2y)(x^2 — 2xy + 4y^2 + x + 2y)\)
б) \((2p — q)(4p^2 + 2pq + q^2 + 2p — q)\)
