ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.19 Мордкович — Подробные Ответы

Разложите многочлен на множители:

а) \( a^3 — a^2 — 2a + 8 \)
б) \( b^3 — 6b^2 — 6b + 1 \)

а) \(a^3 — a^2 — 2a + 8 = (a^3 + 8) — (a^2 + 2a) =\)
\(= (a + 2)(a^2 — 2a + 4) — a(a + 2) = (a + 2)(a^2 — 2a + 4 — a) =\)
\(= (a + 2)(a^2 — 3a + 4)\).

б) \(b^3 — 6b^2 — 6b + 1 = (b^3 + 1) — (6b^2 + 6b) =\)
\(= (b + 1)(b^2 — b + 1) — 6b(b + 1) = (b + 1)(b^2 — b + 1 — 6b) =\)
\(= (b + 1)(b^2 — 7b + 1)\).

в этом задании каждый многочлен состоит из четырёх членов, и прямое разложение на множители затруднено. однако если перегруппировать слагаемые так, чтобы в одной группе получилась сумма кубов, а в другой — общий буквенный множитель, то обе группы будут содержать один и тот же двучлен. его можно будет вынести за скобки, что завершит разложение.

вспомним формулу суммы кубов:
\[
u^3 + v^3 = (u + v)(u^2 — uv + v^2).
\]

рассмотрим каждый пункт.

а)
\[
a^3 — a^2 — 2a + 8
\]

шаг 1. перегруппируем члены, чтобы выделить сумму кубов. заметим, что \(a^3 + 8 = a^3 + 2^3\) — это сумма кубов. оставшиеся два члена — \(-a^2 — 2a\). запишем:
\[
= (a^3 + 8) — (a^2 + 2a).
\]

шаг 2. преобразуем первую группу по формуле суммы кубов:
\[
a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 — 2a + 4).
\]

шаг 3. во второй группе выносим общий множитель \(a\):
\[
a^2 + 2a = a(a + 2), \quad \text{поэтому} \quad -(a^2 + 2a) = -a(a + 2).
\]

шаг 4. теперь всё выражение:
\[
= (a + 2)(a^2 — 2a + 4) — a(a + 2).
\]

шаг 5. оба слагаемых содержат общий множитель \((a + 2)\). выносим его за скобки:
\[
= (a + 2)\bigl(a^2 — 2a + 4 — a\bigr).
\]

шаг 6. упростим выражение в скобках:
\[
a^2 — 2a — a + 4 = a^2 — 3a + 4.
\]

шаг 7. окончательное разложение:
\[
(a + 2)(a^2 — 3a + 4).
\]

квадратный трёхчлен \(a^2 — 3a + 4\) не раскладывается на линейные множители над рациональными числами (его дискриминант \(D = 9 — 16 = -7 < 0\)), поэтому разложение завершено.

б)
\[
b^3 — 6b^2 — 6b + 1
\]

шаг 1. ищем сумму кубов. заметим, что \(b^3 + 1 = b^3 + 1^3\). оставшиеся члены: \(-6b^2 — 6b\). перегруппируем:
\[
= (b^3 + 1) — (6b^2 + 6b).
\]

шаг 2. первая группа — сумма кубов:
\[
b^3 + 1^3 = (b + 1)(b^2 — b + 1).
\]

шаг 3. во второй группе выносим \(6b\):
\[
6b^2 + 6b = 6b(b + 1), \quad \text{поэтому} \quad -(6b^2 + 6b) = -6b(b + 1).
\]

шаг 4. запишем всё выражение:
\[
= (b + 1)(b^2 — b + 1) — 6b(b + 1).
\]

шаг 5. общий множитель — \((b + 1)\). выносим его:
\[
= (b + 1)\bigl(b^2 — b + 1 — 6b\bigr).
\]

шаг 6. упростим в скобках:
\[
b^2 — b — 6b + 1 = b^2 — 7b + 1.
\]

шаг 7. итоговое разложение:
\[
(b + 1)(b^2 — 7b + 1).
\]

квадратный трёхчлен \(b^2 — 7b + 1\) имеет дискриминант \(D = 49 — 4 = 45\), который не является полным квадратом, поэтому над рациональными числами он неприводим.

ответ:
а) \((a + 2)(a^2 — 3a + 4)\)
б) \((b + 1)(b^2 — 7b + 1)\)