Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.2 Мордкович — Подробные Ответы
Разложите многочлен на множители:
а) \( x^3 — 81x \)
б) \( 3y^3 — 300y \)
в) \( 64a — a^3 \)
г) \( 2b^3 — 288b \)
а) \( x^3 — 81x = x(x^2 — 81) = x(x — 9)(x + 9) \).
б) \( 3y^3 — 300y = 3y(y^2 — 100) = 3y(y — 10)(y + 10) \).
в) \( 64a — a^3 = a(64 — a^2) = a(8 — a)(8 + a) \).
г) \( 2b^3 — 288b = 2b(b^2 — 144) = 2b(b — 12)(b + 12) \).
тема: разложение многочленов на множители с использованием вынесения общего множителя за скобки и формулы разности квадратов.
вспомним основные алгебраические приёмы, применяемые здесь:
— если все члены многочлена делятся на одно и то же выражение, его можно вынести за скобки;
— формула разности квадратов имеет вид:
a² – b² = (a – b)(a + b).
она применяется, когда внутри скобок стоит разность двух полных квадратов.
теперь подробно рассмотрим каждый пункт.
а) x³ – 81x
сначала выносим общий множитель x:
x³ – 81x = x(x² – 81).
далее замечаем, что x² – 81 — это разность квадратов, так как 81 = 9²:
x² – 81 = x² – 9² = (x – 9)(x + 9).
подставляя обратно, получаем полное разложение:
x(x – 9)(x + 9).
б) 3y³ – 300y
общий множитель здесь — 3y:
3y³ – 300y = 3y(y² – 100).
выражение y² – 100 также является разностью квадратов, поскольку 100 = 10²:
y² – 100 = (y – 10)(y + 10).
итак, полное разложение:
3y(y – 10)(y + 10).
в) 64a – a³
оба слагаемых содержат множитель a, поэтому выносим его:
64a – a³ = a(64 – a²).
в скобках — разность квадратов: 64 = 8², следовательно,
64 – a² = 8² – a² = (8 – a)(8 + a).
полное разложение:
a(8 – a)(8 + a).
г) 2b³ – 288b
общий множитель — 2b:
2b³ – 288b = 2b(b² – 144).
так как 144 = 12², имеем:
b² – 144 = (b – 12)(b + 12).
окончательный результат:
2b(b – 12)(b + 12).
общее наблюдение: во всех четырёх примерах используется двухэтапный метод — сначала выносится общий множитель, затем применяется формула разности квадратов. в результате каждый многочлен полностью раскладывается на линейные множители, что упрощает дальнейшую работу с ним (например, при решении уравнений или построении графиков).
ответ:
а) x³ – 81x = x(x – 9)(x + 9)
б) 3y³ – 300y = 3y(y – 10)(y + 10)
в) 64a – a³ = a(8 – a)(8 + a)
г) 2b³ – 288b = 2b(b – 12)(b + 12)
