ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.21 Мордкович — Подробные Ответы

Разложите многочлен на множители, используя метод выделения полного квадрата двучлена:

а) \( x^2 — 10x + 24 \)
б) \( y^4 — 14y^2 + 40 \)
в) \( b^4 + 4b^2 — 5 \)
г) \( a^2 — 6a + 5 \)

a) x² − 10x + 24 = x² − 10x + 25 − 1 = (x − 5)² − 1 =
= (x − 5 − 1)(x − 5 + 1) = (x − 6)(x − 4).

б) y⁴ − 14y² + 40 = y⁴ − 14y² + 49 − 9 = (y² − 7)² − 9 =
= (y² − 7 − 3)(y² − 7 + 3) = (y² − 10)(y² − 4) =
= (y² − 10)(y − 2)(y + 2).

в) b⁴ + 4b² − 5 = b⁴ + 4b² + 4 − 9 = (b² + 2)² − 9 =
= (b² + 2 − 3)(b² + 2 + 3) = (b² − 1)(b² + 5) =
= (b − 1)(b + 1)(b² + 5).

г) a² − 6a + 5 = a² − 6a + 9 − 4 = (a − 3)² − 4 =
= (a − 3 − 2)(a − 3 + 2) = (a − 5)(a − 1).

а)
дано выражение:
\[
x^2 — 10x + 24.
\]

выделим полный квадрат из первых двух членов.
квадрат двучлена \((x — 5)^2 = x^2 — 10x + 25\).
наш многочлен отличается от него на \(-1\), так как:
\[
x^2 — 10x + 24 = (x^2 — 10x + 25) — 1 = (x — 5)^2 — 1.
\]

теперь видим разность квадратов:
\[
(x — 5)^2 — 1^2.
\]

применяем формулу:
\[
A^2 — B^2 = (A — B)(A + B), \quad \text{где } A = x — 5,\ B = 1.
\]

получаем:
\[
(x — 5 — 1)(x — 5 + 1) = (x — 6)(x — 4).
\]

итак, полное разложение:
\[
x^2 — 10x + 24 = (x — 6)(x — 4).
\]

б)
дано выражение:
\[
y^4 — 14y^2 + 40.
\]

это биквадратный многочлен (содержит только чётные степени).
введём замену \(z = y^2\), тогда выражение примет вид:

\[
z^2 — 14z + 40,
\]

но будем работать напрямую.

выделим полный квадрат:

\[
(y^2)^2 — 14y^2 + 49 = (y^2 — 7)^2,
\]

поскольку \((y^2 — 7)^2 = y^4 — 14y^2 + 49\).

наш многочлен на 9 меньше:
\[
y^4 — 14y^2 + 40 = (y^4 — 14y^2 + 49) — 9 = (y^2 — 7)^2 — 9.
\]

заметим, что \(9 = 3^2\), поэтому:
\[
(y^2 — 7)^2 — 3^2.
\]

применяем разность квадратов:
\[
(y^2 — 7 — 3)(y^2 — 7 + 3) = (y^2 — 10)(y^2 — 4).
\]

второй множитель — разность квадратов:
\[
y^2 — 4 = (y — 2)(y + 2).
\]

первый множитель \(y^2 — 10\) в действительных числах не разлагается (корни иррациональны, но в рамках целочисленного разложения его оставляют как есть).

итак:
\[
y^4 — 14y^2 + 40 = (y^2 — 10)(y — 2)(y + 2).
\]

в)
дано выражение:
\[
b^4 + 4b^2 — 5.
\]

выделим полный квадрат. рассмотрим \((b^2 + 2)^2 = b^4 + 4b^2 + 4\).
наш многочлен отличается от него на \(-9\):
\[
b^4 + 4b^2 — 5 = (b^4 + 4b^2 + 4) — 9 = (b^2 + 2)^2 — 9.
\]

поскольку \(9 = 3^2\), имеем разность квадратов:
\[
(b^2 + 2)^2 — 3^2 = (b^2 + 2 — 3)(b^2 + 2 + 3) = (b^2 — 1)(b^2 + 5).
\]

в первом множителе — разность квадратов:
\[
b^2 — 1 = (b — 1)(b + 1).
\]

второй множитель \(b^2 + 5\) — сумма квадратов, в действительных числах не разлагается.

итак:
\[
b^4 + 4b^2 — 5 = (b — 1)(b + 1)(b^2 + 5).
\]

г)
дано выражение:
\[
a^2 — 6a + 5.
\]

выделим полный квадрат.
\((a — 3)^2 = a^2 — 6a + 9\).
наш многочлен на 4 меньше:
\[
a^2 — 6a + 5 = (a^2 — 6a + 9) — 4 = (a — 3)^2 — 4.
\]

поскольку \(4 = 2^2\), получаем:
\[
(a — 3)^2 — 2^2.
\]

применяем разность квадратов:
\[
(a — 3 — 2)(a — 3 + 2) = (a — 5)(a — 1).
\]

итак:
\[
a^2 — 6a + 5 = (a — 5)(a — 1).
\]

ответ:
а) \(x^2 — 10x + 24 = (x — 6)(x — 4)\)
б) \(y^4 — 14y^2 + 40 = (y^2 — 10)(y — 2)(y + 2)\)
в) \(b^4 + 4b^2 — 5 = (b — 1)(b + 1)(b^2 + 5)\)
г) \(a^2 — 6a + 5 = (a — 5)(a — 1)\)