Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.22 Мордкович — Подробные Ответы
Разложите многочлен на множители, используя метод выделения полного квадрата двучлена:
а) \( 4a^2 — 12ab + 5b^2 \)
б) \( 9c^2 — 24cd + 7d^2 \)
в) \( 25a^2 — 20ab — 12b^2 \)
г) \( 9m^2 — 30mk + 16k^2 \)
а) \(4a^2 — 12ab + 5b^2 = 4a^2 — 12ab + 9b^2 — 4b^2 = (2a — 3b)^2 — 4b^2 =\)
\(= (2a — 3b — 2b)(2a — 3b + 2b) = (2a — 5b)(2a — b)\).
б) \(9c^2 — 24cd + 7d^2 = 9c^2 — 24cd + 16d^2 — 9d^2 =\)
\(= (3c — 4d)^2 — 9d^2 = (3c — 4d — 3d)(3c — 4d + 3d) =\)
\(= (3c — 7d)(3c — d)\).
в) \(25a^2 — 20ab — 12b^2 = 25a^2 — 20ab + 4b^2 — 16b^2 =\)
\(= (5a — 2b)^2 — 16b^2 = (5a — 2b — 4b)(5a — 2b + 4b) =\)
\(= (5a — 6b)(5a + 2b)\).
г) \(9m^2 — 30mk + 16k^2 = 9m^2 — 30mk + 25k^2 — 9k^2 =\)
\(= (3m — 5k)^2 — 9k^2 = (3m — 5k — 3k)(3m — 5k + 3k) =\)
\(= (3m — 8k)(3m — 2k)\).
общая идея:
\[
Ax^2 + Bxy + Cy^2 = (\text{полный квадрат}) — D y^2 = (U)^2 — (V)^2 = (U — V)(U + V).
\]
рассмотрим каждый пункт.
а)
\[
4a^2 — 12ab + 5b^2
\]
шаг 1. заметим, что первые два члена похожи на начало полного квадрата. квадрат двучлена \((2a — 3b)^2 = 4a^2 — 12ab + 9b^2\).
у нас же вместо \(+9b^2\) стоит \(+5b^2\). чтобы воспользоваться этим, запишем:
\[
4a^2 — 12ab + 5b^2 = (4a^2 — 12ab + 9b^2) — 4b^2.
\]
шаг 2. теперь первая часть — полный квадрат:
\[
(2a — 3b)^2 — (2b)^2.
\]
шаг 3. применяем формулу разности квадратов:
\[
= \bigl((2a — 3b) — 2b\bigr)\bigl((2a — 3b) + 2b\bigr) = (2a — 5b)(2a — b).
\]
б)
\[
9c^2 — 24cd + 7d^2
\]
шаг 1. квадрат \((3c — 4d)^2 = 9c^2 — 24cd + 16d^2\).
у нас \(+7d^2\), а нужно \(+16d^2\), поэтому добавим и вычтем \(9d^2\):
\[
= (9c^2 — 24cd + 16d^2) — 9d^2.
\]
шаг 2. получаем:
\[
(3c — 4d)^2 — (3d)^2.
\]
шаг 3. разность квадратов:
\[
= \bigl(3c — 4d — 3d\bigr)\bigl(3c — 4d + 3d\bigr) = (3c — 7d)(3c — d).
\]
в)
\[
25a^2 — 20ab — 12b^2
\]
шаг 1. квадрат \((5a — 2b)^2 = 25a^2 — 20ab + 4b^2\).
у нас \(-12b^2\), а в квадрате \(+4b^2\). чтобы перейти от \(+4b^2\) к \(-12b^2\), нужно вычесть \(16b^2\):
\[
= (25a^2 — 20ab + 4b^2) — 16b^2.
\]
шаг 2. получаем:
\[
(5a — 2b)^2 — (4b)^2.
\]
шаг 3. разность квадратов:
\[
= \bigl(5a — 2b — 4b\bigr)\bigl(5a — 2b + 4b\bigr) = (5a — 6b)(5a + 2b).
\]
г)
\[
9m^2 — 30mk + 16k^2
\]
шаг 1. квадрат \((3m — 5k)^2 = 9m^2 — 30mk + 25k^2\).
у нас вместо \(+25k^2\) стоит \(+16k^2\), значит, нужно вычесть \(9k^2\):
\[
= (9m^2 — 30mk + 25k^2) — 9k^2.
\]
шаг 2. получаем:
\[
(3m — 5k)^2 — (3k)^2.
\]
шаг 3. разность квадратов:
\[
= \bigl(3m — 5k — 3k\bigr)\bigl(3m — 5k + 3k\bigr) = (3m — 8k)(3m — 2k).
\]
этот метод особенно полезен, когда коэффициенты не позволяют легко подобрать множители «в лоб». он систематичен:
1) выделяем ближайший полный квадрат по первым двум членам;
2) корректируем свободный член, добавляя и вычитая нужную величину;
3) применяем разность квадратов.
такой подход гарантирует разложение любого квадратного трёхчлена с рациональными коэффициентами, если оно возможно над рациональными числами.
ответ:
а) \((2a — 5b)(2a — b)\)
б) \((3c — 7d)(3c — d)\)
в) \((5a — 6b)(5a + 2b)\)
г) \((3m — 8k)(3m — 2k)\)
