ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.23 Мордкович — Подробные Ответы

Разложите многочлен на множители, представив один из членов многочлена в виде суммы подобных слагаемых:

а) \( a^2 + 7a + 10 \)
б) \( x^4 + 7x^2 + 12 \)
в) \( b^2 — 3b — 4 \)
г) \( y^4 — 5y^2 + 4 \)

а) \(a^2 + 7a + 10 = a^2 + 5a + 2a + 10 = a(a + 5) + 2(a + 5) =\)
\(= (a + 5)(a + 2)\).

б) \(x^4 + 7x^2 + 12 = x^4 + 3x^2 + 4x^2 + 12 = x^2(x^2 + 3) + 4(x^2 + 3) =\)
\(= (x^2 + 3)(x^2 + 4)\).

в) \(b^2 — 3b — 4 = b^2 — 3b — 3 — 1 = (b^2 — 1) — 3(b + 1) =\)
\(= (b — 1)(b + 1) — 3(b + 1) = (b + 1)(b — 1 — 3) = (b + 1)(b — 4)\).

г) \(y^4 — 5y^2 + 4 = y^4 — 4y^2 — y^2 + 4 = y^2(y^2 — 4) — (y^2 — 4) =\)
\(= (y^2 — 4)(y^2 — 1) = (y — 2)(y + 2)(y — 1)(y + 1)\).

а)
\[
a^2 + 7a + 10
\]

шаг 1. ищем два числа, произведение которых равно \(10\) (свободный член), а сумма — \(7\) (коэффициент при \(a\)). такими числами являются \(5\) и \(2\):
\[
5 \cdot 2 = 10, \quad 5 + 2 = 7.
\]

шаг 2. представим средний член как сумму:
\[
a^2 + 5a + 2a + 10.
\]

шаг 3. сгруппируем попарно:
\[
(a^2 + 5a) + (2a + 10) = a(a + 5) + 2(a + 5).
\]

шаг 4. общий множитель \((a + 5)\) выносим:
\[
= (a + 5)(a + 2).
\]

это стандартный способ разложения квадратного трёхчлена на множители над целыми числами.

б)
\[
x^4 + 7x^2 + 12
\]

шаг 1. введём замену: пусть \(u = x^2\). тогда выражение превращается в квадратный трёхчлен:
\[
u^2 + 7u + 12.
\]

шаг 2. подбираем два числа: произведение \(12\), сумма \(7\) → это \(3\) и \(4\).
разложим:
\[
u^2 + 3u + 4u + 12 = u(u + 3) + 4(u + 3) = (u + 3)(u + 4).
\]

шаг 3. возвращаемся к переменной \(x\):
\[
= (x^2 + 3)(x^2 + 4).
\]

ни один из множителей не раскладывается дальше над действительными числами, так как оба — суммы квадратов.

в)
\[
b^2 — 3b — 4
\]

шаг 1. ищем два числа: произведение \(-4\), сумма \(-3\). это \(-4\) и \(1\):
\[
-4 + 1 = -3, \quad (-4) \cdot 1 = -4.
\]

однако в оригинальном решении используется другой, более хитроумный способ — через разность квадратов.

шаг 2. автор разбивает \(-4\) как \(-3 — 1\):
\[
b^2 — 3b — 3 — 1 = (b^2 — 1) — 3(b + 1).
\]

шаг 3. первая часть — разность квадратов:
\[
b^2 — 1 = (b — 1)(b + 1).
\]

шаг 4. теперь всё выражение:
\[
(b — 1)(b + 1) — 3(b + 1).
\]

шаг 5. выносим общий множитель \((b + 1)\):
\[
= (b + 1)\bigl(b — 1 — 3\bigr) = (b + 1)(b — 4).
\]

это корректный и изящный способ, хотя более прямой путь — просто записать:
\[
b^2 — 4b + b — 4 = b(b — 4) + 1(b — 4) = (b — 4)(b + 1).
\]

обе формы эквивалентны.

г)
\[
y^4 — 5y^2 + 4
\]

шаг 1. снова вводим замену \(v = y^2\):
\[
v^2 — 5v + 4.
\]

шаг 2. подбираем числа: произведение \(4\), сумма \(-5\) → это \(-4\) и \(-1\).
разложим по методу группировки:
\[
v^2 — 4v — v + 4 = v(v — 4) -1(v — 4) = (v — 4)(v — 1).
\]

шаг 3. возвращаемся к \(y\):
\[
= (y^2 — 4)(y^2 — 1).
\]

шаг 4. оба множителя — разности квадратов:
\[
y^2 — 4 = (y — 2)(y + 2), \quad y^2 — 1 = (y — 1)(y + 1).
\]

шаг 5. окончательное разложение на линейные множители:
\[
= (y — 2)(y + 2)(y — 1)(y + 1).
\]

это максимально возможное разложение над действительными (и даже рациональными) числами.

ответ:
а) \((a + 5)(a + 2)\)
б) \((x^2 + 3)(x^2 + 4)\)
в) \((b + 1)(b — 4)\)
г) \((y — 2)(y + 2)(y — 1)(y + 1)\)