ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.25 Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \( x^3 — x = 0 \)
б) \( 16y — y^3 = 0 \)
в) \( c^3 + c^2 = 0 \)
г) \( d^2 + d = 0 \)

а) \(x^3 — x = 0\)
\(x(x^2 — 1) = 0\)
\(x = 0,\quad x^2 = 1\)
\(\phantom{x = 0,}\quad x = \pm 1.\)
Ответ: \(x = 0, x = \pm 1\).

б) \(16y — y^3 = 0\)
\(y(16 — y^2) = 0\)
\(y = 0,\quad y^2 = 16\)
\(\phantom{y = 0,}\quad y = \pm 4.\)
Ответ: \(y = 0, y = \pm 4\).

в) \(c^3 + c^2 = 0\)
\(c^2(c + 1) = 0\)
\(c = 0,\quad c = -1.\)
Ответ: \(c = 0, c = -1\).

г) \(d^3 + d = 0\)
\(d(d^2 + 1) = 0\)
\(d = 0,\quad d^2 = -1\) — нет решения.
Ответ: \(d = 0\).

а)
\[
x^3 — x = 0
\]

шаг 1. выносим общий множитель \(x\):
\[
x(x^2 — 1) = 0.
\]

шаг 2. выражение в скобках — разность квадратов:
\[
x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1),
\]
но для решения уравнения достаточно приравнять каждый множитель к нулю.

шаг 3. приравниваем множители к нулю:
\[
x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 — 1 = 0.
\]

шаг 4. решаем второе уравнение:
\[
x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1.
\]

шаг 5. все три значения — действительные числа.

ответ: \(x = 0,\; x = 1,\; x = -1\), или кратко: \(x = 0, x = \pm 1\).

б)
\[
16y — y^3 = 0
\]

шаг 1. удобнее переписать в порядке убывания степеней:
\[
-y^3 + 16y = 0,
\]
но можно сразу вынести общий множитель \(y\):
\[
y(16 — y^2) = 0.
\]

шаг 2. приравниваем множители к нулю:
\[
y = 0 \quad \text{или} \quad 16 — y^2 = 0.
\]

шаг 3. из второго уравнения:
\[
y^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad y = \pm 4.
\]

шаг 4. все три корня — действительные.

ответ: \(y = 0,\; y = 4,\; y = -4\), или \(y = 0, y = \pm 4\).

в)
\[
c^3 + c^2 = 0
\]

шаг 1. выносим общий множитель \(c^2\):
\[
c^2(c + 1) = 0.
\]

шаг 2. приравниваем множители к нулю:
\[
c^2 = 0 \quad \text{или} \quad c + 1 = 0.
\]

шаг 3. из первого уравнения: \(c = 0\) (корень кратности 2, но как решение уравнения он записывается один раз);
из второго: \(c = -1\).

шаг 4. оба значения — действительные.

ответ: \(c = 0,\; c = -1\).

г)
\[
d^3 + d = 0
\]

шаг 1. выносим общий множитель \(d\):
\[
d(d^2 + 1) = 0.
\]

шаг 2. приравниваем множители к нулю:
\[
d = 0 \quad \text{или} \quad d^2 + 1 = 0.
\]

шаг 3. решаем второе уравнение:
\[
d^2 = -1.
\]

шаг 4. в множестве действительных чисел квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет действительных решений.

шаг 5. остаётся только одно решение.

ответ: \(d = 0\).

итоговые ответы:
а) \(x = 0, x = \pm 1\)
б) \(y = 0, y = \pm 4\)
в) \(c = 0, c = -1\)
г) \(d = 0\)