Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.28 Мордкович — Подробные Ответы
Пусть \( x_1 + x_2 = 7 \), \( x_1x_2 = 2 \). Вычислите:
а) \( x_1^2 x_2^2 \)
б) \( x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 \)
в) \( x_1^2 + x_2^2 \)
г) \( x_1^3 + x_2^3 \)
\(x_1 + x_2 = 7, \quad x_1x_2 = 2\)
а) \(x_1x_2^2 + x_1^2x_2 = x_1x_2(x_2 + x_1) = 2 \cdot 7 = 14.\)
б) \(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 — x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — x_1x_2 =\)
\(= 7^2 — 2 = 49 — 2 = 47.\)
в) \(x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 — 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 =\)
\(= 7^2 — 2 \cdot 2 = 49 — 4 = 45.\)
г) \(x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 — x_1x_2 + x_2^2) =\)
\(= 7 \cdot (x_1^2 + 2x_1x_2 — 3x_1x_2 + x_2^2) = 7 \cdot ((x_1 + x_2)^2 — 3x_1x_2) =\)
\(= 7 \cdot (7^2 — 3 \cdot 2) = 7 \cdot (49 — 6) = 7 \cdot 43 = 301.\)
а)
\[
x_1x_2^2 + x_1^2x_2
\]
шаг 1. вынесем общий множитель \(x_1x_2\):
\[
= x_1x_2(x_2 + x_1).
\]
шаг 2. подставим известные значения:
\[
x_1x_2 = 2, \quad x_1 + x_2 = 7,
\]
поэтому:
\[
= 2 \cdot 7 = 14.
\]
это выражение представляет собой сумму всех возможных произведений, где одна переменная в первой степени, другая — во второй.
б)
\[
x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2
\]
шаг 1. заметим, что это почти квадрат суммы. вспомним:
\[
(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2.
\]
шаг 2. чтобы получить наше выражение, вычтем лишнее \(x_1x_2\):
\[
x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) — x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 — x_1x_2.
\]
шаг 3. подставим значения:
\[
= 7^2 — 2 = 49 — 2 = 47.
\]
альтернативный путь: можно было бы сначала найти \(x_1^2 + x_2^2\) (см. пункт в), а затем прибавить \(x_1x_2\), но прямой способ короче.
в)
\[
x_1^2 + x_2^2
\]
шаг 1. используем стандартное тождество:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2.
\]
шаг 2. подставляем:
\[
= 7^2 — 2 \cdot 2 = 49 — 4 = 45.
\]
это одно из самых часто используемых преобразований в алгебре.
г)
\[
x_1^3 + x_2^3
\]
шаг 1. применяем формулу суммы кубов:
\[
x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 — x_1x_2 + x_2^2).
\]
шаг 2. выражение в скобках можно переписать через уже известные величины:
\[
x_1^2 — x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) — x_1x_2.
\]
шаг 3. но ещё удобнее использовать тождество:
\[
x_1^2 — x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 3x_1x_2,
\]
поскольку:
\[
(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2,
\]
тогда:
\[
x_1^2 — x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 3x_1x_2.
\]
шаг 4. подставим в формулу суммы кубов:
\[
x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)\bigl((x_1 + x_2)^2 — 3x_1x_2\bigr).
\]
шаг 5. вычислим:
\[
= 7 \cdot (7^2 — 3 \cdot 2) = 7 \cdot (49 — 6) = 7 \cdot 43 = 301.
\]
ответы:
а) \(14\)
б) \(47\)
в) \(45\)
г) \(301\)
