ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.29 Мордкович — Подробные Ответы

Пусть \( x_1 + x_2 = 5 \), \( x_1x_2 = -3 \). Вычислите:

а) \( x_1^4 + x_2^4 \)
б) \( (x_1 — x_2)^2 \)
в) \( x_1^3x_2^2 + x_1^2x_2^3 \)
г) \( x_1^2x_2^4 + x_1^4x_2^2 \)

x₁ + x₂ = 5, x₁x₂ = −3

а) x₁⁴ + x₂⁴ = x₁⁴ + 2x₁²x₂² + x₂⁴ − 2x₁²x₂² = (x₁² + x₂²)² − 2·(−3)² =
= (x₁² + x₂² + 2x₁x₂ − 2x₁x₂)² − 2·9 = ((x₁ + x₂)² − 2·(−3))² − 18 =
= (5² + 6)² − 18 = (25 + 6)² − 18 = 31² − 18 =
= 961 − 18 = 943.

б) (x₁ − x₂)² = x₁² − 2x₁x₂ + x₂² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂² − 4x₁x₂ =
= (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = 5² − 4·(−3) = 25 + 12 = 37.

в) x₁³x₂² + x₁²x₂³ = x₁²x₂²(x₁ + x₂) = (−3)²·5 = 9·5 = 45.

г) x₁²x₂⁴ + x₁⁴x₂² = x₁²x₂²(x₂² + x₁²) = (−3)²·(x₁² + x₂²) =
= 9·((x₁ + x₂)² − 2·(−3)) = 9·(5² + 6) = 9·(25 + 6) = 9·31 = 279.

дано:
\[
x_1 + x_2 = 5, \quad x_1 x_2 = -3.
\]

требуется вычислить различные выражения, содержащие степени корней \(x_1\) и \(x_2\), не находя сами корни. для этого используются алгебраические тождества, позволяющие выразить суммы степеней через сумму и произведение корней.

а)
найдём значение выражения \(x_1^4 + x_2^4\).

прямое возведение в четвёртую степень затруднительно, поэтому воспользуемся тождеством:
\[
x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 — 2x_1^2x_2^2.
\]

сначала найдём \(x_1^2 + x_2^2\). известна формула:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2.
\]

подставим известные значения:
\[
x_1^2 + x_2^2 = 5^2 — 2 \cdot (-3) = 25 + 6 = 31.
\]

теперь найдём \(x_1^2x_2^2\):
\[
x_1^2x_2^2 = (x_1x_2)^2 = (-3)^2 = 9.
\]

подставим в исходное тождество:
\[
x_1^4 + x_2^4 = (31)^2 — 2 \cdot 9 = 961 — 18 = 943.
\]

б)
найдём \((x_1 — x_2)^2\).

раскроем квадрат разности:
\[
(x_1 — x_2)^2 = x_1^2 — 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) — 2x_1x_2.
\]

но удобнее использовать стандартное тождество:
\[
(x_1 — x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 — 4x_1x_2.
\]

подставим значения:
\[
(x_1 — x_2)^2 = 5^2 — 4 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37.
\]

в)
найдём \(x_1^3x_2^2 + x_1^2x_2^3\).

вынесем общий множитель \(x_1^2x_2^2\):
\[
x_1^3x_2^2 + x_1^2x_2^3 = x_1^2x_2^2(x_1 + x_2).
\]

мы уже знаем:
\[
x_1^2x_2^2 = (x_1x_2)^2 = (-3)^2 = 9, \quad x_1 + x_2 = 5.
\]

поэтому:
\[
x_1^3x_2^2 + x_1^2x_2^3 = 9 \cdot 5 = 45.
\]

г)
найдём \(x_1^2x_2^4 + x_1^4x_2^2\).

аналогично, вынесем общий множитель \(x_1^2x_2^2\):
\[
x_1^2x_2^4 + x_1^4x_2^2 = x_1^2x_2^2(x_2^2 + x_1^2) = x_1^2x_2^2(x_1^2 + x_2^2).
\]

мы уже вычислили:
\[
x_1^2x_2^2 = 9, \quad x_1^2 + x_2^2 = 31.
\]

следовательно:
\[
x_1^2x_2^4 + x_1^4x_2^2 = 9 \cdot 31 = 279.
\]

ответ:
а) \(943\)
б) \(37\)
в) \(45\)
г) \(279\)