Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.4 Мордкович — Подробные Ответы
Разложите многочлен на множители:
а) \( \frac{16p^2q}{49} — q^3 \)
б) \( \frac{2}{9}a^3b — \frac{1}{4}ab^3 \)
в) \( c^3 — \frac{25cd^2}{36} \)
г) \( \frac{mn^5}{9} — \frac{3}{16}m^3n \)
а) \(\frac{16}{49}p^2q — q^3 = q\left(\frac{16}{49}p^2 — q^2\right) = q\left(\frac{4}{7}p — q\right)\left(\frac{4}{7}p + q\right)\).
б) \(2\frac{7}{9}a^3b — \frac{ab^3}{4} = ab\left(\frac{25}{9}a^2 — \frac{1}{4}b^2\right) = ab\left(\frac{5}{3}a — \frac{1}{2}b\right)\left(\frac{5}{3}a + \frac{1}{2}b\right) =\)
\(= ab\left(1\frac{2}{3}a — \frac{1}{2}b\right)\left(1\frac{2}{3}a + \frac{1}{2}b\right)\).
в) \(c^3 — \frac{25}{36}cd^2 = c\left(c^2 — \frac{25}{36}d^2\right) = c\left(c — \frac{5}{6}d\right)\left(c + \frac{5}{6}d\right)\).
г) \(\frac{mn^5}{9} — 3\frac{1}{16}m^3n = mn\left(\frac{1}{9}n^4 — \frac{49}{16}m^2\right) =\)
\(= mn\left(\frac{1}{3}n^2 — \frac{7}{4}m\right)\left(\frac{1}{3}n^2 + \frac{7}{4}m\right) = mn\left(\frac{1}{3}n^2 — 1\frac{3}{4}m\right)\left(\frac{1}{3}n^2 + 1\frac{3}{4}m\right)\).
в задании требуется разложить на множители выражения, содержащие дробные коэффициенты и смешанные числа. для этого последовательно применяются два приёма: сначала выносится общий множитель, затем — если возможно — используется формула разности квадратов:
\[
A^2 — B^2 = (A — B)(A + B).
\]
все действия выполняются с особой внимательностью к арифметике дробей и преобразованию смешанных чисел в неправильные дроби.
а)
\[
\frac{16}{49}p^2q — q^3
\]
оба слагаемых содержат множитель \(q\), поэтому выносим его за скобки:
\[
= q\left(\frac{16}{49}p^2 — q^2\right).
\]
теперь рассмотрим выражение в скобках. заметим, что \(\frac{16}{49}p^2 = \left(\frac{4}{7}p\right)^2\) и \(q^2 = (q)^2\). следовательно, перед нами разность квадратов:
\[
\left(\frac{4}{7}p\right)^2 — q^2 = \left(\frac{4}{7}p — q\right)\left(\frac{4}{7}p + q\right).
\]
подставляя обратно, получаем полное разложение:
\[
\frac{16}{49}p^2q — q^3 = q\left(\frac{4}{7}p — q\right)\left(\frac{4}{7}p + q\right).
\]
б)
\[
2\frac{7}{9}a^3b — \frac{ab^3}{4}
\]
сначала переведём смешанное число \(2\frac{7}{9}\) в неправильную дробь:
\[
2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{18 + 7}{9} = \frac{25}{9}.
\]
теперь выражение принимает вид:
\[
\frac{25}{9}a^3b — \frac{1}{4}ab^3.
\]
общий множитель у обоих членов — \(ab\). выносим его:
\[
= ab\left(\frac{25}{9}a^2 — \frac{1}{4}b^2\right).
\]
теперь проверим, является ли выражение в скобках разностью квадратов.
\[
\frac{25}{9}a^2 = \left(\frac{5}{3}a\right)^2, \quad \frac{1}{4}b^2 = \left(\frac{1}{2}b\right)^2.
\]
значит,
\[
\frac{25}{9}a^2 — \frac{1}{4}b^2 = \left(\frac{5}{3}a — \frac{1}{2}b\right)\left(\frac{5}{3}a + \frac{1}{2}b\right).
\]
полное разложение:
\[
ab\left(\frac{5}{3}a — \frac{1}{2}b\right)\left(\frac{5}{3}a + \frac{1}{2}b\right).
\]
в некоторых учебниках предпочитают записывать неправильные дроби в виде смешанных чисел. так как \(\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}\), можно переписать ответ и так:
\[
ab\left(1\frac{2}{3}a — \frac{1}{2}b\right)\left(1\frac{2}{3}a + \frac{1}{2}b\right).
\]
обе формы корректны; вторая — более «школьная».
в)
\[
c^3 — \frac{25}{36}cd^2
\]
общий множитель — \(c\):
\[
= c\left(c^2 — \frac{25}{36}d^2\right).
\]
в скобках — разность квадратов:
\[
c^2 = (c)^2, \quad \frac{25}{36}d^2 = \left(\frac{5}{6}d\right)^2.
\]
поэтому:
\[
c^2 — \frac{25}{36}d^2 = \left(c — \frac{5}{6}d\right)\left(c + \frac{5}{6}d\right).
\]
итоговое разложение:
\[
c\left(c — \frac{5}{6}d\right)\left(c + \frac{5}{6}d\right).
\]
г)
\[
\frac{mn^5}{9} — 3\frac{1}{16}m^3n
\]
сначала преобразуем смешанное число:
\[
3\frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{48 + 1}{16} = \frac{49}{16}.
\]
теперь выражение:
\[
\frac{1}{9}mn^5 — \frac{49}{16}m^3n.
\]
общий множитель — \(mn\) (оба члена содержат хотя бы одну степень \(m\) и одну степень \(n\)):
\[
= mn\left(\frac{1}{9}n^4 — \frac{49}{16}m^2\right).
\]
теперь проверим, можно ли применить формулу разности квадратов.
\[
\frac{1}{9}n^4 = \left(\frac{1}{3}n^2\right)^2, \quad \frac{49}{16}m^2 = \left(\frac{7}{4}m\right)^2.
\]
следовательно:
\[
\frac{1}{9}n^4 — \frac{49}{16}m^2 = \left(\frac{1}{3}n^2 — \frac{7}{4}m\right)\left(\frac{1}{3}n^2 + \frac{7}{4}m\right).
\]
полное разложение:
\[
mn\left(\frac{1}{3}n^2 — \frac{7}{4}m\right)\left(\frac{1}{3}n^2 + \frac{7}{4}m\right).
\]
при желании, \(\frac{7}{4}\) можно записать как смешанное число:
\[
\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4},
\]
и тогда ответ примет вид:
\[
mn\left(\frac{1}{3}n^2 — 1\frac{3}{4}m\right)\left(\frac{1}{3}n^2 + 1\frac{3}{4}m\right).
\]
эта форма соответствует стилю, принятому в некоторых школьных учебниках.
таким образом, во всех четырёх пунктах используется единая стратегия:
1) выделение общего множителя;
2) распознавание разности квадратов среди оставшихся членов;
3) применение формулы и, при необходимости, перевод неправильных дробей в смешанные числа для соответствия традиционному оформлению.
ответ:
а) \( q\left(\frac{4}{7}p — q\right)\left(\frac{4}{7}p + q\right) \)
б) \( ab\left(\frac{5}{3}a — \frac{1}{2}b\right)\left(\frac{5}{3}a + \frac{1}{2}b\right) \) или \( ab\left(1\frac{2}{3}a — \frac{1}{2}b\right)\left(1\frac{2}{3}a + \frac{1}{2}b\right) \)
в) \( c\left(c — \frac{5}{6}d\right)\left(c + \frac{5}{6}d\right) \)
г) \( mn\left(\frac{1}{3}n^2 — \frac{7}{4}m\right)\left(\frac{1}{3}n^2 + \frac{7}{4}m\right) \) или \( mn\left(\frac{1}{3}n^2 — 1\frac{3}{4}m\right)\left(\frac{1}{3}n^2 + 1\frac{3}{4}m\right) \)
