Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.5 Мордкович — Подробные Ответы
Разложите многочлен на множители:
а) \( 5a^2 + 10ab + 5b^2 \)
б) \( 2x^2 + 4x + 2 \)
в) \( 3m^2 + 3n^2 — 6mn \)
г) \( 8n^2 — 16n + 8 \)
a) 5a² + 10ab + 5b² = 5(a² + 2ab + b²) = 5(a + b)².
б) 2x² + 4x + 2 = 2(x² + 2x + 1) = 2(x + 1)².
в) 3m² + 3n² − 6mn = 3(m² − 2mn + n²) = 3(m − n)².
г) 8n² − 16n + 8 = 8(n² − 2n + 1) = 8(n − 1)².
в каждом пункте требуется разложить многочлен на множители. для этого используется следующая стратегия:
сначала выносится общий числовой множитель, а затем внутри скобок распознаётся полный квадрат — то есть выражение вида
\[
u^2 + 2uv + v^2 = (u + v)^2 \quad \text{или} \quad u^2 — 2uv + v^2 = (u — v)^2.
\]
а)
дано выражение:
\[
5a^2 + 10ab + 5b^2.
\]
заметим, что все три слагаемых делятся на 5. вынесем общий множитель:
\[
5a^2 + 10ab + 5b^2 = 5(a^2 + 2ab + b^2).
\]
внутри скобок — трёхчлен \(a^2 + 2ab + b^2\). это квадрат суммы, потому что:
\[
a^2 = (a)^2, \quad b^2 = (b)^2, \quad 2ab = 2 \cdot a \cdot b.
\]
следовательно,
\[
a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2.
\]
подставляя обратно, получаем:
\[
5a^2 + 10ab + 5b^2 = 5(a + b)^2.
\]
б)
дано выражение:
\[
2x^2 + 4x + 2.
\]
все коэффициенты чётные, общий множитель — 2. выносим:
\[
2x^2 + 4x + 2 = 2(x^2 + 2x + 1).
\]
в скобках:
\[
x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2,
\]
что является квадратом суммы:
\[
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2.
\]
итак, полное разложение:
\[
2x^2 + 4x + 2 = 2(x + 1)^2.
\]
в)
дано выражение:
\[
3m^2 + 3n^2 — 6mn.
\]
все члены делятся на 3. выносим общий множитель:
\[
3m^2 + 3n^2 — 6mn = 3(m^2 + n^2 — 2mn).
\]
перепишем слагаемые внутри скобок в стандартном порядке:
\[
m^2 — 2mn + n^2.
\]
это квадрат разности, поскольку:
\[
m^2 = (m)^2, \quad n^2 = (n)^2, \quad -2mn = -2 \cdot m \cdot n,
\]
и поэтому
\[
m^2 — 2mn + n^2 = (m — n)^2.
\]
следовательно,
\[
3m^2 + 3n^2 — 6mn = 3(m — n)^2.
\]
г)
дано выражение:
\[
8n^2 — 16n + 8.
\]
все коэффициенты делятся на 8. выносим:
\[
8n^2 — 16n + 8 = 8(n^2 — 2n + 1).
\]
внутри скобок:
\[
n^2 — 2n + 1 = n^2 — 2 \cdot n \cdot 1 + 1^2 = (n — 1)^2.
\]
поэтому полное разложение:
\[
8n^2 — 16n + 8 = 8(n — 1)^2.
\]
ответ:
а) \(5a^2 + 10ab + 5b^2 = 5(a + b)^2\)
б) \(2x^2 + 4x + 2 = 2(x + 1)^2\)
в) \(3m^2 + 3n^2 — 6mn = 3(m — n)^2\)
г) \(8n^2 — 16n + 8 = 8(n — 1)^2\)
