Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.6 Мордкович — Подробные Ответы
Разложите многочлен на множители:
а) \( -3x^2 + 12x — 12 \)
б) \( -2a^3 + 20a^2b — 50ab^2 \)
в) \( -5p^2 — 10pq — 5q^2 \)
г) \( -36z^2 — 24z — 4 \)
а) \(-3x^2 + 12x — 12 = -3(x^2 — 4x + 4) = -3(x — 2)^2\).
б) \(-2a^3 + 20a^2b — 50ab^2 = -2a(a^2 — 10ab + 25b^2) = -2a(a — 5b)^2\).
в) \(-5p^2 — 10pq — 5q^2 = -5(p^2 + 2pq + q^2) = -5(p + q)^2\).
г) \(-36z^3 — 24z^2 — 4z = -4z(9z^2 + 6z + 1) = -4z(3z + 1)^2\).
в задании требуется разложить многочлены на множители. все выражения содержат отрицательный числовой коэффициент у старшего члена, что делает удобным его вынесение за скобки. после этого внутри скобок возникает полный квадрат трёхчлена, который раскладывается по одной из формул сокращённого умножения:
\[
a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2, \quad a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2.
\]
рассмотрим каждый пункт отдельно.
а)
\[
-3x^2 + 12x — 12
\]
шаг 1. вынесем общий множитель. все коэффициенты делятся на \(-3\):
\[
= -3(x^2 — 4x + 4).
\]
шаг 2. проанализируем трёхчлен в скобках:
\[
x^2 — 4x + 4.
\]
заметим, что это квадрат разности:
\[
x^2 — 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x — 2)^2.
\]
шаг 3. подставим обратно:
\[
-3(x — 2)^2.
\]
б)
\[
-2a^3 + 20a^2b — 50ab^2
\]
шаг 1. выносим общий множитель. все члены содержат множитель \(-2a\):
\[
= -2a(a^2 — 10ab + 25b^2).
\]
шаг 2. трёхчлен в скобках:
\[
a^2 — 10ab + 25b^2 = a^2 — 2 \cdot a \cdot 5b + (5b)^2 = (a — 5b)^2.
\]
шаг 3. окончательный вид:
\[
-2a(a — 5b)^2.
\]
в)
\[
-5p^2 — 10pq — 5q^2
\]
шаг 1. общий множитель — \(-5\):
\[
= -5(p^2 + 2pq + q^2).
\]
шаг 2. трёхчлен в скобках — квадрат суммы:
\[
p^2 + 2pq + q^2 = (p + q)^2.
\]
шаг 3. результат:
\[
-5(p + q)^2.
\]
г)
\[
-36z^3 — 24z^2 — 4z
\]
шаг 1. выносим наибольший общий множитель. все коэффициенты делятся на \(-4\), и каждый член содержит \(z\):
\[
= -4z(9z^2 + 6z + 1).
\]
шаг 2. исследуем квадратный трёхчлен:
\[
9z^2 + 6z + 1 = (3z)^2 + 2 \cdot 3z \cdot 1 + 1^2 = (3z + 1)^2.
\]
шаг 3. полное разложение:
\[
-4z(3z + 1)^2.
\]
общая стратегия во всех четырёх примерах:
1. вынести общий числовой и буквенный множитель, желательно с отрицательным знаком, чтобы внутри скобок получить положительный старший коэффициент;
2. распознать в полученном трёхчлене формулу квадрата суммы или разности;
3. записать окончательное разложение как произведение вынесенного множителя и квадрата бинома.
такой подход позволяет не только упростить выражение, но и легко находить его корни или анализировать знак.
ответ:
а) \(-3(x — 2)^2\)
б) \(-2a(a — 5b)^2\)
в) \(-5(p + q)^2\)
г) \(-4z(3z + 1)^2\)
