Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.7 Мордкович — Подробные Ответы
Разложите многочлен на множители:
а) \( a^4 — 16 \)
б) \( b^8 — c^8 \)
в) \( y^8 — 1 \)
г) \( x^4 — z^4 \)
a) a⁴ − 16 = (a² − 4)(a² + 4) = (a − 2)(a + 2)(a² + 4).
б) b⁸ − c⁸ = (b⁴ − c⁴)(b⁴ + c⁴) = (b² − c²)(b² + c²)(b⁴ + c⁴) =
= (b − c)(b + c)(b² + c²)(b⁴ + c⁴).
в) y⁸ − 1 = (y⁴ − 1)(y⁴ + 1) = (y² − 1)(y² + 1)(y⁴ + 1) =
= (y − 1)(y + 1)(y² + 1)(y⁴ + 1).
г) x⁴ − z⁴ = (x² − z²)(x² + z²) = (x − z)(x + z)(x² + z²).
в каждом пункте требуется разложить на множители выражение, представляющее собой разность чётных степеней. основной приём — многократное применение формулы разности квадратов, пока это возможно. множители, представляющие собой сумму квадратов (например, \(a^2 + 4\), \(x^2 + z^2\)), в области действительных чисел не разлагаются дальше и остаются в окончательном ответе.
а)
дано выражение:
\[
a^4 — 16.
\]
заметим, что \(a^4 = (a^2)^2\) и \(16 = 4^2 = (2^2)^2 = (2^2)^2\), но удобнее считать \(16 = 4^2\).
таким образом, это разность квадратов:
\[
a^4 — 16 = (a^2)^2 — 4^2 = (a^2 — 4)(a^2 + 4).
\]
в первом множителе снова имеем разность квадратов:
\[
a^2 — 4 = a^2 — 2^2 = (a — 2)(a + 2).
\]
второй множитель — \(a^2 + 4\) — является суммой квадратов. в действительных числах он не разлагается, поэтому оставляем его без изменений.
итак, полное разложение:
\[
a^4 — 16 = (a — 2)(a + 2)(a^2 + 4).
\]
б)
дано выражение:
\[
b^8 — c^8.
\]
поскольку \(b^8 = (b^4)^2\) и \(c^8 = (c^4)^2\), применяем формулу разности квадратов:
\[
b^8 — c^8 = (b^4 — c^4)(b^4 + c^4).
\]
в первом множителе снова разность квадратов:
\[
b^4 — c^4 = (b^2)^2 — (c^2)^2 = (b^2 — c^2)(b^2 + c^2).
\]
в множителе \(b^2 — c^2\) — ещё одна разность квадратов:
\[
b^2 — c^2 = (b — c)(b + c).
\]
множитель \(b^2 + c^2\) — сумма квадратов — не разлагается в действительных числах.
множитель \(b^4 + c^4\) также не разлагается стандартными способами (в рамках школьного курса).
собирая всё вместе, получаем:
\[
b^8 — c^8 = (b — c)(b + c)(b^2 + c^2)(b^4 + c^4).
\]
в)
дано выражение:
\[
y^8 — 1.
\]
аналогично, \(y^8 = (y^4)^2\), \(1 = 1^2\), поэтому:
\[
y^8 — 1 = (y^4 — 1)(y^4 + 1).
\]
в первом множителе:
\[
y^4 — 1 = (y^2)^2 — 1^2 = (y^2 — 1)(y^2 + 1).
\]
в \(y^2 — 1\):
\[
y^2 — 1 = (y — 1)(y + 1).
\]
множители \(y^2 + 1\) и \(y^4 + 1\) — суммы квадратов (или выражения, не разлагаемые далее в действительных числах), поэтому оставляем их без изменений.
полное разложение:
\[
y^8 — 1 = (y — 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1).
\]
г)
дано выражение:
\[
x^4 — z^4.
\]
применяем разность квадратов:
\[
x^4 — z^4 = (x^2)^2 — (z^2)^2 = (x^2 — z^2)(x^2 + z^2).
\]
в первом множителе:
\[
x^2 — z^2 = (x — z)(x + z).
\]
второй множитель — \(x^2 + z^2\) — сумма квадратов, не разлагается в действительных числах.
итак, полное разложение:
\[
x^4 — z^4 = (x — z)(x + z)(x^2 + z^2).
\]
ответ:
а) \(a^4 — 16 = (a — 2)(a + 2)(a^2 + 4)\)
б) \(b^8 — c^8 = (b — c)(b + c)(b^2 + c^2)(b^4 + c^4)\)
в) \(y^8 — 1 = (y — 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)\)
г) \(x^4 — z^4 = (x — z)(x + z)(x^2 + z^2)\)
