Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 40.9 Мордкович — Подробные Ответы
Разложите многочлен на множители:
а) \( 6x^5y — 24xy^3 \)
б) \( 0{,}1x^4y — 2{,}7xy^6 \)
в) \( 0{,}3y^2 — 2{,}7y^5 \)
г) \( 3a^4b^2 + 24ab^5 \)
а) \(6x^5y — 24xy^3 = 6xy(x^4 — 4y^2) = 6xy(x^2 — 2y)(x^2 + 2y)\).
б) \(0{,}1x^4y — 2{,}7xy^4 = 0{,}1xy(x^3 — 27y^3) =\)
\(= 0{,}1xy(x — 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2)\).
в) \(0{,}3y^2 — 2{,}7y^6 = 0{,}3y^2(1 — 9y^4) = 0{,}3y^2(1 — 3y^2)(1 + 3y^2)\).
г) \(3a^4b^2 + 24ab^5 = 3ab^2(a^3 + 8b^3) = 3ab^2(a + 2b)(a^2 — 2ab + 4b^2)\).
в данном задании требуется полностью разложить многочлены на множители. для этого последовательно применяются несколько стандартных методов:
— сначала выносится общий множитель (числовой и буквенный);
— затем, если возможна, применяется одна из формул сокращённого умножения:
— разность квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\);
— сумма кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)\);
— разность кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\).
рассмотрим каждый пункт.
а)
\[
6x^5y — 24xy^3
\]
шаг 1. найдём общий множитель. оба члена делятся на \(6xy\):
\[
= 6xy(x^4 — 4y^2).
\]
шаг 2. выражение в скобках — разность квадратов, так как
\(x^4 = (x^2)^2\) и \(4y^2 = (2y)^2\):
\[
x^4 — 4y^2 = (x^2)^2 — (2y)^2 = (x^2 — 2y)(x^2 + 2y).
\]
шаг 3. полное разложение:
\[
6xy(x^2 — 2y)(x^2 + 2y).
\]
б)
\[
0{,}1x^4y — 2{,}7xy^4
\]
шаг 1. выносим общий множитель. оба члена содержат \(0{,}1xy\):
\[
= 0{,}1xy(x^3 — 27y^3).
\]
шаг 2. выражение в скобках — разность кубов, так как
\(x^3 = (x)^3\), \(27y^3 = (3y)^3\):
\[
x^3 — (3y)^3 = (x — 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2).
\]
шаг 3. итоговое разложение:
\[
0{,}1xy(x — 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2).
\]
в)
\[
0{,}3y^2 — 2{,}7y^6
\]
шаг 1. общий множитель — \(0{,}3y^2\):
\[
= 0{,}3y^2(1 — 9y^4).
\]
шаг 2. внутри скобок — разность квадратов:
\(1 = 1^2\), \(9y^4 = (3y^2)^2\), следовательно:
\[
1 — 9y^4 = 1^2 — (3y^2)^2 = (1 — 3y^2)(1 + 3y^2).
\]
шаг 3. окончательный результат:
\[
0{,}3y^2(1 — 3y^2)(1 + 3y^2).
\]
—
г)
\[
3a^4b^2 + 24ab^5
\]
шаг 1. выносим общий множитель. наибольший общий делитель — \(3ab^2\):
\[
= 3ab^2(a^3 + 8b^3).
\]
шаг 2. выражение в скобках — сумма кубов:
\(a^3 = (a)^3\), \(8b^3 = (2b)^3\), значит:
\[
a^3 + (2b)^3 = (a + 2b)(a^2 — 2ab + 4b^2).
\]
шаг 3. полное разложение:
\[
3ab^2(a + 2b)(a^2 — 2ab + 4b^2).
\]
ответ:
а) \(6xy(x^2 — 2y)(x^2 + 2y)\)
б) \(0{,}1xy(x — 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2)\)
в) \(0{,}3y^2(1 — 3y^2)(1 + 3y^2)\)
г) \(3ab^2(a + 2b)(a^2 — 2ab + 4b^2)\)
