Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.12 Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \frac{-ax-bx}{ay+by} \)；
б) \( \frac{m^5-3m^2}{2m^7-6m^4} \)；
в) \( \frac{4x^2 y-4x^3}{12x^2 y^2-12xy^3} \)；
г) \( \frac{3n^6+2n^4}{15n^8+10n^6} \)；
а) \(\frac{-ax — bx}{ay + by} = \frac{-x(a + b)}{y(a + b)} = -\frac{x}{y}\).
б) \(\frac{4x^2y — 4x^3}{12x^2y^2 — 12xy^3} = \frac{4x^2(y — x)}{-12xy^2(y — x)} = -\frac{x}{3y^2}\).
в) \(\frac{m^5 — 3m^2}{2m^7 — 6m^4} = \frac{m^2(m^3 — 3)}{2m^4(m^3 — 3)} = \frac{1}{2m^2}\).
г) \(\frac{3n^6 + 2n^4}{15n^8 + 10n^6} = \frac{n^4(3n^2 + 2)}{5n^6(3n^2 + 2)} = \frac{1}{5n^2}\).
а)
\[
\frac{-ax — bx}{ay + by}
\]
шаг 1. в числителе общий множитель — \(-x\) (или можно вынести \(x\), а минус оставить отдельно):
\[
-ax — bx = -x(a + b).
\]
шаг 2. в знаменателе общий множитель — \(y\):
\[
ay + by = y(a + b).
\]
шаг 3. подставим:
\[
\frac{-x(a + b)}{y(a + b)}.
\]
шаг 4. при условии \(a + b \ne 0\) множитель \((a + b)\) сокращается.
шаг 5. остаётся:
\[
-\frac{x}{y}.
\]
предполагается также \(y \ne 0\).
результат: \(-\frac{x}{y}\).
б)
\[
\frac{4x^2y — 4x^3}{12x^2y^2 — 12xy^3}
\]
шаг 1. в числителе выносим общий множитель \(4x^2\):
\[
4x^2y — 4x^3 = 4x^2(y — x).
\]
шаг 2. в знаменателе выносим общий множитель \(12xy^2\):
\[
12x^2y^2 — 12xy^3 = 12xy^2(x — y).
\]
шаг 3. заметим, что \(x — y = -(y — x)\). поэтому знаменатель можно переписать как:
\[
12xy^2(x — y) = -12xy^2(y — x).
\]
шаг 4. теперь дробь:
\[
\frac{4x^2(y — x)}{-12xy^2(y — x)}.
\]
шаг 5. при \(y \ne x\) множитель \((y — x)\) сокращается.
шаг 6. числовой коэффициент: \(\frac{4}{-12} = -\frac{1}{3}\).
шаг 7. переменная \(x\): \(\frac{x^2}{x} = x\).
шаг 8. переменная \(y\): остаётся \(y^2\) в знаменателе.
шаг 9. итог:
\[
-\frac{x}{3y^2}.
\]
предполагается \(x \ne 0\), \(y \ne 0\), \(x \ne y\).
результат: \(-\frac{x}{3y^2}\).
в)
\[
\frac{m^5 — 3m^2}{2m^7 — 6m^4}
\]
шаг 1. в числителе выносим наименьшую степень \(m\), то есть \(m^2\):
\[
m^5 — 3m^2 = m^2(m^3 — 3).
\]
шаг 2. в знаменателе выносим \(2m^4\) (наименьшая степень \(m\) — 4):
\[
2m^7 — 6m^4 = 2m^4(m^3 — 3).
\]
шаг 3. дробь:
\[
\frac{m^2(m^3 — 3)}{2m^4(m^3 — 3)}.
\]
шаг 4. при \(m^3 — 3 \ne 0\) этот множитель сокращается.
шаг 5. степени \(m\): \(\frac{m^2}{m^4} = m^{-2} = \frac{1}{m^2}\).
шаг 6. числовой коэффициент: \(\frac{1}{2}\).
шаг 7. итог:
\[
\frac{1}{2m^2}.
\]
предполагается \(m \ne 0\).
результат: \(\frac{1}{2m^2}\).
г)
\[
\frac{3n^6 + 2n^4}{15n^8 + 10n^6}
\]
шаг 1. в числителе выносим \(n^4\):
\[
3n^6 + 2n^4 = n^4(3n^2 + 2).
\]
шаг 2. в знаменателе выносим \(5n^6\):
\[
15n^8 + 10n^6 = 5n^6(3n^2 + 2).
\]
шаг 3. дробь:
\[
\frac{n^4(3n^2 + 2)}{5n^6(3n^2 + 2)}.
\]
шаг 4. при \(3n^2 + 2 \ne 0\) (что всегда верно для действительных \(n\)) множитель сокращается.
шаг 5. степени \(n\): \(\frac{n^4}{n^6} = n^{-2} = \frac{1}{n^2}\).
шаг 6. числовой коэффициент: \(\frac{1}{5}\).
шаг 7. итог:
\[
\frac{1}{5n^2}.
\]
предполагается \(n \ne 0\).
результат: \(\frac{1}{5n^2}\).
ответы:
а) \(-\frac{x}{y}\)
б) \(-\frac{x}{3y^2}\)
в) \(\frac{1}{2m^2}\)
г) \(\frac{1}{5n^2}\)
