ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.16 Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \frac{15a^4b^2 — 15a^2}{45a^4b + 45a^3} \)；
б) \( \frac{17a^3b + 17a^4c}{51a^2b^2 — 51a^4c^2} \)；
в) \( \frac{18a^4b — 72a^2b}{48ab^2 — 24a^2b^2} \)；
г) \( \frac{36a^3b^2c — 36a^3b^3}{48ab^5 — 48ab^3c^2} \).

a) \(\frac{15a^4b^2 — 15a^2}{45a^4b + 45a^3} = \frac{15a^2(a^2b^2 — 1)}{45a^3(ab + 1)} = \frac{(ab — 1)(ab + 1)}{3a(ab + 1)} = \frac{ab — 1}{3a}\).
б) \(\frac{18a^4b — 72a^2b}{48ab^2 — 24a^2b^2} = \frac{18a^2b(a^2 — 4)}{24ab^2(2 — a)} = \frac{3a(a — 2)(a + 2)}{-4b(a — 2)} = -\frac{3a(a + 2)}{4b}\).
в) \(\frac{17a^3b + 17a^4c}{51a^2b^2 — 51a^4c^2} = \frac{17a^3(b + ac)}{51a^2(b^2 — a^2c^2)} = \frac{a(b + ac)}{3(b — ac)(b + ac)} = \frac{a}{3(b — ac)}\).
г) \(\frac{36a^3b^2c — 36a^3b^3}{48ab^5 — 48ab^3c^2} = \frac{36a^3b^2(c — b)}{48ab^3(b^2 — c^2)} = \frac{-3a^2(b — c)}{4b(b — c)(b + c)} = -\frac{3a^2}{4b(b + c)}\).

а)
дано выражение:
\[
\frac{15a^4b^2 — 15a^2}{45a^4b + 45a^3}.
\]

вынесем общие множители:

— в числителе: \(15a^2\) — общий множитель, так как \(15a^4b^2 = 15a^2 \cdot a^2b^2\), а \(15a^2 = 15a^2 \cdot 1\):
\[
15a^4b^2 — 15a^2 = 15a^2(a^2b^2 — 1).
\]

— в знаменателе: \(45a^3\) — общий множитель:
\[
45a^4b + 45a^3 = 45a^3(ab + 1).
\]

теперь дробь:
\[
\frac{15a^2(a^2b^2 — 1)}{45a^3(ab + 1)}.
\]

сократим числовой коэффициент: \(\frac{15}{45} = \frac{1}{3}\).
сократим степени \(a\): \(\frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}\).

получаем:
\[
\frac{a^2b^2 — 1}{3a(ab + 1)}.
\]

заметим, что \(a^2b^2 — 1 = (ab)^2 — 1^2 = (ab — 1)(ab + 1)\) — разность квадратов.

подставим:
\[
\frac{(ab — 1)(ab + 1)}{3a(ab + 1)}.
\]

при условии \(ab + 1 \ne 0\), этот множитель сокращается. остаётся:
\[
\frac{ab — 1}{3a}.
\]

б)
дано выражение:
\[
\frac{18a^4b — 72a^2b}{48ab^2 — 24a^2b^2}.
\]

вынесем общие множители:

— в числителе: \(18a^2b\):
\[
18a^4b — 72a^2b = 18a^2b(a^2 — 4).
\]

— в знаменателе: \(24ab^2\):
\[
48ab^2 — 24a^2b^2 = 24ab^2(2 — a).
\]

дробь:
\[
\frac{18a^2b(a^2 — 4)}{24ab^2(2 — a)}.
\]

сократим числовые коэффициенты: \(\frac{18}{24} = \frac{3}{4}\).
сократим \(a\): \(\frac{a^2}{a} = a\).
сократим \(b\): \(\frac{b}{b^2} = \frac{1}{b}\).

получаем:
\[
\frac{3a(a^2 — 4)}{4b(2 — a)}.
\]

разложим \(a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2)\).
заметим, что \(2 — a = -(a — 2)\). тогда знаменатель:
\[
4b(2 — a) = -4b(a — 2).
\]

подставим:
\[
\frac{3a(a — 2)(a + 2)}{-4b(a — 2)}.
\]

при условии \(a \ne 2\), множитель \((a — 2)\) сокращается. остаётся:
\[
-\frac{3a(a + 2)}{4b}.
\]

в)
дано выражение:
\[
\frac{17a^3b + 17a^4c}{51a^2b^2 — 51a^4c^2}.
\]

вынесем общие множители:

— в числителе: \(17a^3\):
\[
17a^3b + 17a^4c = 17a^3(b + ac).
\]

— в знаменателе: \(51a^2\):
\[
51a^2b^2 — 51a^4c^2 = 51a^2(b^2 — a^2c^2).
\]

дробь:
\[
\frac{17a^3(b + ac)}{51a^2(b^2 — a^2c^2)}.
\]

сократим числовой коэффициент: \(\frac{17}{51} = \frac{1}{3}\).
сократим \(a\): \(\frac{a^3}{a^2} = a\).

получаем:
\[
\frac{a(b + ac)}{3(b^2 — a^2c^2)}.
\]

в знаменателе — разность квадратов:
\[
b^2 — a^2c^2 = (b — ac)(b + ac).
\]

подставим:
\[
\frac{a(b + ac)}{3(b — ac)(b + ac)}.
\]

при условии \(b + ac \ne 0\), этот множитель сокращается. остаётся:
\[
\frac{a}{3(b — ac)}.
\]

г)
дано выражение:
\[
\frac{36a^3b^2c — 36a^3b^3}{48ab^5 — 48ab^3c^2}.
\]

вынесем общие множители:

— в числителе: \(36a^3b^2\):
\[
36a^3b^2c — 36a^3b^3 = 36a^3b^2(c — b).
\]

— в знаменателе: \(48ab^3\):
\[
48ab^5 — 48ab^3c^2 = 48ab^3(b^2 — c^2).
\]

дробь:
\[
\frac{36a^3b^2(c — b)}{48ab^3(b^2 — c^2)}.
\]

сократим числовой коэффициент: \(\frac{36}{48} = \frac{3}{4}\).
сократим \(a\): \(\frac{a^3}{a} = a^2\).
сократим \(b\): \(\frac{b^2}{b^3} = \frac{1}{b}\).

получаем:
\[
\frac{3a^2(c — b)}{4b(b^2 — c^2)}.
\]

заметим, что \(c — b = -(b — c)\), а \(b^2 — c^2 = (b — c)(b + c)\).
тогда числитель: \(3a^2(c — b) = -3a^2(b — c)\).
знаменатель: \(4b(b — c)(b + c)\).

подставим:
\[
\frac{-3a^2(b — c)}{4b(b — c)(b + c)}.
\]

при условии \(b \ne c\), множитель \((b — c)\) сокращается. остаётся:
\[
-\frac{3a^2}{4b(b + c)}.
\]

ответ:
а) \(\frac{ab — 1}{3a}\)
б) \(-\frac{3a(a + 2)}{4b}\)
в) \(\frac{a}{3(b — ac)}\)
г) \(-\frac{3a^2}{4b(b + c)}\)