Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.17 Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \frac{a^3 — 8}{a^2 + 2a + 4} \)；
б) \( \frac{x^3 + 1}{x^2 — x + 1} \)；
в) \( \frac{1 — 5y + 25y^2}{125y^3 + 1} \)；
г) \( \frac{4t^2 + 2t + 1}{8t^3 + 1} \)；
а) \(\frac{a^3 — 8}{a^2 + 2a + 4} = \frac{(a — 2)(a^2 + 2a + 4)}{a^2 + 2a + 4} = a — 2\).
б) \(\frac{1 — 5y + 25y^2}{125y^3 + 1} = \frac{1 — 5y + 25y^2}{(5y + 1)(25y^2 — 5y + 1)} = \frac{1}{5y + 1}\).
в) \(\frac{x^3 + 1}{x^2 — x + 1} = \frac{(x + 1)(x^2 — x + 1)}{x^2 — x + 1} = x + 1\).
г) скорее всего опечатка в учебнике, должно быть либо \(4t^2 — 2t + 1\), либо \(8t^3 — 1\). мы сделаем \(4t^2 — 2t + 1\).
\[
\frac{4t^2 — 2t + 1}{8t^3 + 1} = \frac{4t^2 — 2t + 1}{(2t + 1)(4t^2 — 2t + 1)} = \frac{1}{2t + 1}.
\]
а)
\[
\frac{a^3 — 8}{a^2 + 2a + 4}
\]
шаг 1. заметим, что \(8 = 2^3\), поэтому числитель — разность кубов:
\[
a^3 — 2^3 = (a — 2)(a^2 + 2a + 4).
\]
шаг 2. подставим это в дробь:
\[
\frac{(a — 2)(a^2 + 2a + 4)}{a^2 + 2a + 4}.
\]
шаг 3. при условии \(a^2 + 2a + 4 \ne 0\) (что верно для всех действительных \(a\), так как дискриминант отрицателен), этот множитель сокращается.
шаг 4. остаётся:
\[
a — 2.
\]
результат: \(a — 2\).
б)
\[
\frac{1 — 5y + 25y^2}{125y^3 + 1}
\]
шаг 1. перепишем числитель в стандартном порядке:
\[
25y^2 — 5y + 1.
\]
шаг 2. знаменатель: \(125y^3 = (5y)^3\), \(1 = 1^3\), значит, это сумма кубов:
\[
(5y)^3 + 1^3 = (5y + 1)\bigl((5y)^2 — 5y \cdot 1 + 1^2\bigr) = (5y + 1)(25y^2 — 5y + 1).
\]
шаг 3. числитель совпадает со вторым множителем в знаменателе.
шаг 4. дробь:
\[
\frac{25y^2 — 5y + 1}{(5y + 1)(25y^2 — 5y + 1)}.
\]
шаг 5. при \(25y^2 — 5y + 1 \ne 0\) (всегда верно для действительных \(y\)) множитель сокращается.
шаг 6. остаётся:
\[
\frac{1}{5y + 1}.
\]
результат: \(\frac{1}{5y + 1}\).
в)
\[
\frac{x^3 + 1}{x^2 — x + 1}
\]
шаг 1. числитель — сумма кубов:
\[
x^3 + 1^3 = (x + 1)(x^2 — x + 1).
\]
шаг 2. подставим:
\[
\frac{(x + 1)(x^2 — x + 1)}{x^2 — x + 1}.
\]
шаг 3. при \(x^2 — x + 1 \ne 0\) (дискриминант \(1 — 4 = -3 < 0\), поэтому всегда верно для действительных \(x\)) множитель сокращается.
шаг 4. остаётся:
\[
x + 1.
\]
результат: \(x + 1\).
г)
\[
\frac{4t^2 — 2t + 1}{8t^3 + 1}
\]
шаг 1. \(4t^2 — 2t + 1\).
шаг 2. знаменатель: \(8t^3 = (2t)^3\), \(1 = 1^3\), значит, сумма кубов:
\[
(2t)^3 + 1^3 = (2t + 1)\bigl((2t)^2 — 2t \cdot 1 + 1^2\bigr) = (2t + 1)(4t^2 — 2t + 1).
\]
шаг 3. числитель совпадает со вторым множителем в знаменателе.
шаг 4. дробь:
\[
\frac{4t^2 — 2t + 1}{(2t + 1)(4t^2 — 2t + 1)}.
\]
шаг 5. при \(4t^2 — 2t + 1 \ne 0\) (дискриминант \(4 — 16 = -12 < 0\)) множитель сокращается.
шаг 6. остаётся:
\[
\frac{1}{2t + 1}.
\]
результат: \(\frac{1}{2t + 1}\).
ответы:
а) \(a — 2\)
б) \(\frac{1}{5y + 1}\)
в) \(x + 1\)
г) \(\frac{1}{2t + 1}\)
