ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.22 Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \frac{y^2 — x^2}{x^2 — 2xy + y^2} \)；
б) \( \frac{b^2 — 49}{49 — 14b + b^2} \)；
в) \( \frac{16c^2 — 1}{16c^2 — 8c + 1} \)；
г) \( \frac{4n^2 — 4nm + m^2}{4n^2 — m^2} \).

a) \(\frac{y^2 — x^2}{x^2 — 2xy + y^2} = \frac{(y — x)(y + x)}{(x — y)^2} = \frac{y + x}{y — x}\).
б) \(\frac{16c^2 — 1}{16c^2 — 8c + 1} = \frac{(4c — 1)(4c + 1)}{(4c — 1)^2} = \frac{4c + 1}{4c — 1}\).
в) \(\frac{b^2 — 49}{49 — 14b + b^2} = \frac{(b — 7)(b + 7)}{(7 — b)^2} = \frac{b + 7}{b — 7}\).
г) \(\frac{4n^2 — 4nm + m^2}{4n^2 — m^2} = \frac{(2n — m)^2}{(2n — m)(2n + m)} = \frac{2n — m}{2n + m}\).

а)
дано выражение:
\[
\frac{y^2 — x^2}{x^2 — 2xy + y^2}.
\]

числитель — разность квадратов:
\[
y^2 — x^2 = (y — x)(y + x).
\]

знаменатель — полный квадрат:
\[
x^2 — 2xy + y^2 = (x — y)^2.
\]

заметим, что \((x — y)^2 = (y — x)^2\), так как квадрат устраняет знак.
однако чтобы сократить, удобнее оставить знаменатель как \((x — y)^2\), а в числителе выразить \(y — x = -(x — y)\).

тогда числитель:
\[
(y — x)(y + x) = -(x — y)(y + x).
\]

дробь:
\[
\frac{-(x — y)(x + y)}{(x — y)^2} = -\frac{x + y}{x — y}.
\]

но в исходном решении ответ записан как \(\frac{y + x}{y — x}\).
поскольку \(y — x = -(x — y)\), то:
\[
-\frac{x + y}{x — y} = \frac{x + y}{y — x},
\]

что совпадает с данным ответом.

итак, результат:
\[
\frac{y + x}{y — x}.
\]

б)
дано выражение:
\[
\frac{16c^2 — 1}{16c^2 — 8c + 1}.
\]

числитель — разность квадратов:
\[
16c^2 — 1 = (4c)^2 — 1^2 = (4c — 1)(4c + 1).
\]

знаменатель — полный квадрат:
\[
16c^2 — 8c + 1 = (4c — 1)^2.
\]

дробь:
\[
\frac{(4c — 1)(4c + 1)}{(4c — 1)^2}.
\]

при условии \(4c — 1 \ne 0\) (то есть \(c \ne \frac{1}{4}\)), множитель \((4c — 1)\) сокращается. остаётся:
\[
\frac{4c + 1}{4c — 1}.
\]

в)
дано выражение:
\[
\frac{b^2 — 49}{49 — 14b + b^2}.
\]

числитель — разность квадратов:
\[
b^2 — 49 = (b — 7)(b + 7).
\]

знаменатель перепишем в стандартном порядке:
\[
b^2 — 14b + 49 = (b — 7)^2.
\]

однако в исходном решении знаменатель записан как \((7 — b)^2\).
это допустимо, так как \((7 — b)^2 = (b — 7)^2\).

тогда дробь:
\[
\frac{(b — 7)(b + 7)}{(7 — b)^2} = \frac{(b — 7)(b + 7)}{(b — 7)^2}.
\]

сокращаем \((b — 7)\) (при \(b \ne 7\)):
\[
\frac{b + 7}{b — 7}.
\]

г)
дано выражение:
\[
\frac{4n^2 — 4nm + m^2}{4n^2 — m^2}.
\]

числитель — полный квадрат:
\[
4n^2 — 4nm + m^2 = (2n — m)^2.
\]

знаменатель — разность квадратов:
\[
4n^2 — m^2 = (2n)^2 — m^2 = (2n — m)(2n + m).
\]

дробь:
\[
\frac{(2n — m)^2}{(2n — m)(2n + m)}.
\]

при условии \(2n — m \ne 0\), сокращаем один множитель \((2n — m)\). остаётся:
\[
\frac{2n — m}{2n + m}.
\]

ответ:
а) \(\frac{y + x}{y — x}\)
б) \(\frac{4c + 1}{4c — 1}\)
в) \(\frac{b + 7}{b — 7}\)
г) \(\frac{2n — m}{2n + m}\)