Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.23 Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \frac{3x^2 — 6xy + 3y^2}{6x^2 — 6y^2} \)
б) \( \frac{m^2 + 6mn + 9n^2}{4m^2 + 12mn} \)
в) \( \frac{40c^2 — 10d^2}{20c^2 + 20cd + 5d^2} \)
г) \( \frac{4n^2 — 4n + 1}{2n — 4n^2} \)
а) \(\frac{3x^2 — 6xy + 3y^2}{6x^2 — 6y^2} = \frac{3(x^2 — 2xy + y^2)}{6(x^2 — y^2)} = \frac{(x — y)^2}{2(x — y)(x + y)} = \frac{x — y}{2(x + y)}\).
б) \(\frac{m^2 + 6mn + 9n^2}{4m^2 + 12mn} = \frac{(m + 3n)^2}{4m(m + 3n)} = \frac{m + 3n}{4m}\).
в) \(\frac{40c^2 — 10d^2}{20c^2 + 20cd + 5d^2} = \frac{10(4c^2 — d^2)}{5(4c^2 + 4cd + d^2)} = \frac{2(2c — d)(2c + d)}{(2c + d)^2} = \frac{2(2c — d)}{2c + d}\).
г) \(\frac{4n^2 — 4n + 1}{2n — 4n^2} = \frac{(2n — 1)^2}{2n(1 — 2n)} = \frac{1 — 2n}{2n}\).
а)
\[
\frac{3x^2 — 6xy + 3y^2}{6x^2 — 6y^2}
\]
шаг 1. в числителе выносим общий множитель \(3\):
\[
3x^2 — 6xy + 3y^2 = 3(x^2 — 2xy + y^2).
\]
шаг 2. в знаменателе выносим общий множитель \(6\):
\[
6x^2 — 6y^2 = 6(x^2 — y^2).
\]
шаг 3. теперь дробь:
\[
\frac{3(x^2 — 2xy + y^2)}{6(x^2 — y^2)}.
\]
шаг 4. упростим числовой коэффициент: \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
шаг 5. распознаём формулы:
— \(x^2 — 2xy + y^2 = (x — y)^2\) (полный квадрат разности),
— \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\) (разность квадратов).
шаг 6. подставим:
\[
\frac{(x — y)^2}{2(x — y)(x + y)}.
\]
шаг 7. при \(x \ne y\) множитель \((x — y)\) сокращается, остаётся:
\[
\frac{x — y}{2(x + y)}.
\]
предполагается \(x \ne \pm y\).
результат: \(\frac{x — y}{2(x + y)}\).
б)
\[
\frac{m^2 + 6mn + 9n^2}{4m^2 + 12mn}
\]
шаг 1. числитель — полный квадрат суммы:
\[
m^2 + 6mn + 9n^2 = (m + 3n)^2.
\]
шаг 2. в знаменателе выносим общий множитель \(4m\):
\[
4m^2 + 12mn = 4m(m + 3n).
\]
шаг 3. дробь:
\[
\frac{(m + 3n)^2}{4m(m + 3n)}.
\]
шаг 4. при \(m + 3n \ne 0\) один множитель \((m + 3n)\) сокращается.
шаг 5. остаётся:
\[
\frac{m + 3n}{4m}.
\]
предполагается \(m \ne 0\).
результат: \(\frac{m + 3n}{4m}\).
в)
\[
\frac{40c^2 — 10d^2}{20c^2 + 20cd + 5d^2}
\]
шаг 1. в числителе выносим \(10\):
\[
40c^2 — 10d^2 = 10(4c^2 — d^2).
\]
шаг 2. в знаменателе выносим \(5\):
\[
20c^2 + 20cd + 5d^2 = 5(4c^2 + 4cd + d^2).
\]
шаг 3. дробь:
\[
\frac{10(4c^2 — d^2)}{5(4c^2 + 4cd + d^2)} = \frac{2(4c^2 — d^2)}{4c^2 + 4cd + d^2}.
\]
шаг 4. распознаём формулы:
— \(4c^2 — d^2 = (2c — d)(2c + d)\) (разность квадратов),
— \(4c^2 + 4cd + d^2 = (2c + d)^2\) (полный квадрат суммы).
шаг 5. подставим:
\[
\frac{2(2c — d)(2c + d)}{(2c + d)^2}.
\]
шаг 6. при \(2c + d \ne 0\) один множитель \((2c + d)\) сокращается.
шаг 7. остаётся:
\[
\frac{2(2c — d)}{2c + d}.
\]
предполагается \(2c + d \ne 0\).
результат: \(\frac{2(2c — d)}{2c + d}\).
г)
\[
\frac{4n^2 — 4n + 1}{2n — 4n^2}
\]
шаг 1. числитель — полный квадрат разности:
\[
4n^2 — 4n + 1 = (2n — 1)^2.
\]
шаг 2. в знаменателе выносим общий множитель \(2n\):
\[
2n — 4n^2 = 2n(1 — 2n).
\]
шаг 3. заметим, что \(1 — 2n = -(2n — 1)\). поэтому знаменатель можно записать как:
\[
2n(1 — 2n) = -2n(2n — 1).
\]
шаг 4. дробь:
\[
\frac{(2n — 1)^2}{-2n(2n — 1)}.
\]
шаг 5. при \(2n — 1 \ne 0\) один множитель сокращается:
\[
\frac{2n — 1}{-2n} = -\frac{2n — 1}{2n} = \frac{1 — 2n}{2n}.
\]
предполагается \(n \ne 0\), \(n \ne \frac{1}{2}\).
результат: \(\frac{1 — 2n}{2n}\).
ответы:
а) \(\frac{x — y}{2(x + y)}\)
б) \(\frac{m + 3n}{4m}\)
в) \(\frac{2(2c — d)}{2c + d}\)
г) \(\frac{1 — 2n}{2n}\)
