Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.24 Мордкович — Подробные Ответы
а) \(\frac{(a^2 — b^2)^2}{a^2 + 2ab + b^2}\);
б) \(\frac{7x^2y^2 — 14xy^3 + 7y^4}{x^4 — 2x^2y^2 + y^4}\);
в) \(\frac{p^2 — 2pq + q^2}{(q^2 — p^2)^2}\);
г) \(\frac{m^4 — 2m^2n^2 + n^4}{6m^3n + 12m^2n^2 + 6n^3m}\).
a) \(\frac{(a^2 — b^2)^2}{a^2 + 2ab + b^2} = \frac{((a — b)(a + b))^2}{(a + b)^2} = (a — b)^2\).
б) \(\frac{7x^2y^2 — 14xy^3 + 7y^4}{x^4 — 2x^2y^2 + y^4} = \frac{7y^2(x^2 — 2xy + y^2)}{(x^2 — y^2)^2} = \frac{7y^2(x — y)^2}{(x — y)^2(x + y)^2} = \frac{7y^2}{(x + y)^2}\).
в) \(\frac{p^2 — 2pq + q^2}{(q^2 — p^2)^2} = \frac{(p — q)^2}{(p — q)^2(p + q)^2} = \frac{1}{(p + q)^2}\).
г) \(\frac{m^4 — 2m^2n^2 + n^4}{6m^3n + 12m^2n^2 + 6n^3m} = \frac{(m^2 — n^2)^2}{6mn(m^2 + 2mn + n^2)} = \frac{(m — n)^2(m + n)^2}{6mn(m + n)^2} = \frac{(m — n)^2}{6mn}\).
а)
дано выражение:
\[
\frac{(a^2 — b^2)^2}{a^2 + 2ab + b^2}.
\]
числитель: \(a^2 — b^2\) — разность квадратов, поэтому
\[
a^2 — b^2 = (a — b)(a + b),
\]
а затем всё возводится в квадрат:
\[
(a^2 — b^2)^2 = \big((a — b)(a + b)\big)^2 = (a — b)^2(a + b)^2.
\]
знаменатель — полный квадрат суммы:
\[
a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2.
\]
подставим:
\[
\frac{(a — b)^2(a + b)^2}{(a + b)^2}.
\]
при условии \(a + b \ne 0\), множитель \((a + b)^2\) сокращается. остаётся:
\[
(a — b)^2.
\]
б)
дано выражение:
\[
\frac{7x^2y^2 — 14xy^3 + 7y^4}{x^4 — 2x^2y^2 + y^4}.
\]
в числителе выносим общий множитель \(7y^2\):
\[
7x^2y^2 — 14xy^3 + 7y^4 = 7y^2(x^2 — 2xy + y^2).
\]
в скобках — полный квадрат:
\[
x^2 — 2xy + y^2 = (x — y)^2.
\]
таким образом, числитель: \(7y^2(x — y)^2\).
знаменатель: \(x^4 — 2x^2y^2 + y^4\) — это квадрат разности квадратов:
\[
x^4 — 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 — y^2)^2.
\]
а \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\), поэтому
\[
(x^2 — y^2)^2 = (x — y)^2(x + y)^2.
\]
теперь дробь:
\[
\frac{7y^2(x — y)^2}{(x — y)^2(x + y)^2}.
\]
при условии \(x \ne y\) и \(x \ne -y\), множитель \((x — y)^2\) сокращается. остаётся:
\[
\frac{7y^2}{(x + y)^2}.
\]
в)
дано выражение:
\[
\frac{p^2 — 2pq + q^2}{(q^2 — p^2)^2}.
\]
числитель — полный квадрат:
\[
p^2 — 2pq + q^2 = (p — q)^2.
\]
знаменатель: \(q^2 — p^2 = -(p^2 — q^2) = -(p — q)(p + q)\), но при возведении в квадрат знак исчезает:
\[
(q^2 — p^2)^2 = (p^2 — q^2)^2 = \big((p — q)(p + q)\big)^2 = (p — q)^2(p + q)^2.
\]
дробь:
\[
\frac{(p — q)^2}{(p — q)^2(p + q)^2}.
\]
при условии \(p \ne q\) и \(p \ne -q\), множитель \((p — q)^2\) сокращается. остаётся:
\[
\frac{1}{(p + q)^2}.
\]
г)
дано выражение:
\[
\frac{m^4 — 2m^2n^2 + n^4}{6m^3n + 12m^2n^2 + 6n^3m}.
\]
числитель — полный квадрат:
\[
m^4 — 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 — n^2)^2.
\]
а \(m^2 — n^2 = (m — n)(m + n)\), поэтому
\[
(m^2 — n^2)^2 = (m — n)^2(m + n)^2.
\]
в знаменателе выносим общий множитель \(6mn\):
\[
6m^3n + 12m^2n^2 + 6n^3m = 6mn(m^2 + 2mn + n^2).
\]
в скобках — полный квадрат:
\[
m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2.
\]
таким образом, знаменатель: \(6mn(m + n)^2\).
теперь дробь:
\[
\frac{(m — n)^2(m + n)^2}{6mn(m + n)^2}.
\]
при условии \(m + n \ne 0\), \(m \ne 0\), \(n \ne 0\), множитель \((m + n)^2\) сокращается. остаётся:
\[
\frac{(m — n)^2}{6mn}.
\]
ответ:
а) \((a — b)^2\)
б) \(\frac{7y^2}{(x + y)^2}\)
в) \(\frac{1}{(p + q)^2}\)
г) \(\frac{(m — n)^2}{6mn}\)
