Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.25 Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \frac{1 — c^2}{1 — c^3} \)
б) \( \frac{8t^3 + 125}{4t^2 — 25} \)
в) \( \frac{b^2 — 4}{b^3 — 8} \)
г) \( \frac{16z^2 — 9}{27 — 64z^3} \)
а) \(\frac{1 — c^2}{1 — c^3} = \frac{(1 — c)(1 + c)}{(1 — c)(1 + c + c^2)} = \frac{1 + c}{1 + c + c^2}\).
б) \(\frac{8t^3 + 125}{4t^2 — 25} = \frac{(2t + 5)(4t^2 — 10t + 25)}{(2t — 5)(2t + 5)} = \frac{4t^2 — 10t + 25}{2t — 5}\).
в) \(\frac{b^2 — 4}{b^3 — 8} = \frac{(b — 2)(b + 2)}{(b — 2)(b^2 + 2b + 4)} = \frac{b + 2}{b^2 + 2b + 4}\).
г) \(\frac{16z^2 — 9}{27 — 64z^3} = \frac{(4z — 3)(4z + 3)}{(3 — 4z)(9 + 12z + 16z^2)} = -\frac{4z + 3}{9 + 12z + 16z^2}\).
а)
\[
\frac{1 — c^2}{1 — c^3}
\]
шаг 1. числитель — разность квадратов:
\[
1 — c^2 = (1 — c)(1 + c).
\]
шаг 2. знаменатель — разность кубов:
\[
1 — c^3 = (1 — c)(1 + c + c^2).
\]
шаг 3. подставим в дробь:
\[
\frac{(1 — c)(1 + c)}{(1 — c)(1 + c + c^2)}.
\]
шаг 4. при \(1 — c \ne 0\) (то есть \(c \ne 1\)) множитель \((1 — c)\) сокращается.
шаг 5. остаётся:
\[
\frac{1 + c}{1 + c + c^2}.
\]
результат: \(\frac{1 + c}{1 + c + c^2}\).
б)
\[
\frac{8t^3 + 125}{4t^2 — 25}
\]
шаг 1. числитель — сумма кубов:
\[
8t^3 = (2t)^3, \quad 125 = 5^3,
\]
поэтому:
\[
8t^3 + 125 = (2t + 5)\bigl((2t)^2 — 2t \cdot 5 + 5^2\bigr) = (2t + 5)(4t^2 — 10t + 25).
\]
шаг 2. знаменатель — разность квадратов:
\[
4t^2 — 25 = (2t)^2 — 5^2 = (2t — 5)(2t + 5).
\]
шаг 3. дробь:
\[
\frac{(2t + 5)(4t^2 — 10t + 25)}{(2t — 5)(2t + 5)}.
\]
шаг 4. при \(2t + 5 \ne 0\) (то есть \(t \ne -\frac{5}{2}\)) множитель \((2t + 5)\) сокращается.
шаг 5. остаётся:
\[
\frac{4t^2 — 10t + 25}{2t — 5}.
\]
результат: \(\frac{4t^2 — 10t + 25}{2t — 5}\).
в)
\[
\frac{b^2 — 4}{b^3 — 8}
\]
шаг 1. числитель — разность квадратов:
\[
b^2 — 4 = (b — 2)(b + 2).
\]
шаг 2. знаменатель — разность кубов:
\[
b^3 — 8 = b^3 — 2^3 = (b — 2)(b^2 + 2b + 4).
\]
шаг 3. дробь:
\[
\frac{(b — 2)(b + 2)}{(b — 2)(b^2 + 2b + 4)}.
\]
шаг 4. при \(b \ne 2\) множитель \((b — 2)\) сокращается.
шаг 5. остаётся:
\[
\frac{b + 2}{b^2 + 2b + 4}.
\]
результат: \(\frac{b + 2}{b^2 + 2b + 4}\).
г)
\[
\frac{16z^2 — 9}{27 — 64z^3}
\]
шаг 1. числитель — разность квадратов:
\[
16z^2 — 9 = (4z)^2 — 3^2 = (4z — 3)(4z + 3).
\]
шаг 2. знаменатель — разность кубов, но записана в обратном порядке:
\[
27 — 64z^3 = 3^3 — (4z)^3 = (3 — 4z)(9 + 12z + 16z^2).
\]
шаг 3. заметим, что \(3 — 4z = -(4z — 3)\). поэтому знаменатель можно переписать как:
\[
-(4z — 3)(9 + 12z + 16z^2).
\]
шаг 4. дробь:
\[
\frac{(4z — 3)(4z + 3)}{-(4z — 3)(9 + 12z + 16z^2)}.
\]
шаг 5. при \(4z — 3 \ne 0\) (то есть \(z \ne \frac{3}{4}\)) множитель \((4z — 3)\) сокращается.
шаг 6. остаётся знак минус:
\[
-\frac{4z + 3}{9 + 12z + 16z^2}.
\]
результат: \(-\frac{4z + 3}{9 + 12z + 16z^2}\).
ответы:
а) \(\frac{1 + c}{1 + c + c^2}\)
б) \(\frac{4t^2 — 10t + 25}{2t — 5}\)
в) \(\frac{b + 2}{b^2 + 2b + 4}\)
г) \(-\frac{4z + 3}{9 + 12z + 16z^2}\)
