ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.26 Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \frac{3qp^2 — 27q}{27q — p^3q} \)
б) \( \frac{8mn^2 — 2m}{8mn^4 + mn} \)
в) \( \frac{y^6 + y^3}{y^6 — 1} \)
г) \( \frac{x^6 — y^6}{x^3 + y^3} \)

a) \(\frac{3qp^2 — 27q}{27q — p^3q} = \frac{3q(p^2 — 9)}{q(27 — p^3)} = \frac{3(p — 3)(p + 3)}{(3 — p)(9 + 3p + p^2)} = -\frac{3(p + 3)}{9 + 3p + p^2}\).
б) \(\frac{x^6 — y^6}{x^3 + y^3} = \frac{(x^3 — y^3)(x^3 + y^3)}{x^3 + y^3} = x^3 — y^3\).
в) \(\frac{8mn^2 — 2m}{8mn^4 + mn} = \frac{2m(4n^2 — 1)}{mn(8n^3 + 1)} = \frac{2(2n — 1)(2n + 1)}{n(2n + 1)(4n^2 — 2n + 1)} = \frac{2(2n — 1)}{n(4n^2 — 2n + 1)}\).
г) \(\frac{y^6 + y^3}{y^6 — 1} = \frac{y^3(y^3 + 1)}{(y^3 — 1)(y^3 + 1)} = \frac{y^3}{y^3 — 1}\).

а)
дано выражение:
\[
\frac{3qp^2 — 27q}{27q — p^3q}.
\]

в числителе и знаменателе выносим общий множитель \(q\):
\[
\frac{q(3p^2 — 27)}{q(27 — p^3)} = \frac{3p^2 — 27}{27 — p^3}.
\]

в числителе выносим 3:
\[
3p^2 — 27 = 3(p^2 — 9) = 3(p — 3)(p + 3),
\]
поскольку \(p^2 — 9\) — разность квадратов.

в знаменателе: \(27 — p^3 = 3^3 — p^3\) — разность кубов:
\[
27 — p^3 = (3 — p)(3^2 + 3p + p^2) = (3 — p)(9 + 3p + p^2).
\]

заметим, что \(3 — p = -(p — 3)\). тогда дробь:
\[
\frac{3(p — 3)(p + 3)}{-(p — 3)(9 + 3p + p^2)}.
\]

при условии \(p \ne 3\), множитель \((p — 3)\) сокращается. остаётся:
\[
-\frac{3(p + 3)}{9 + 3p + p^2}.
\]

б)
дано выражение:
\[
\frac{x^6 — y^6}{x^3 + y^3}.
\]

числитель — разность квадратов:
\[
x^6 — y^6 = (x^3)^2 — (y^3)^2 = (x^3 — y^3)(x^3 + y^3).
\]

знаменатель — \(x^3 + y^3\).

дробь:
\[
\frac{(x^3 — y^3)(x^3 + y^3)}{x^3 + y^3}.
\]

при условии \(x^3 + y^3 \ne 0\), этот множитель сокращается. остаётся:
\[
x^3 — y^3.
\]

в)
дано выражение:
\[
\frac{8mn^2 — 2m}{8mn^4 + mn}.
\]

в числителе выносим общий множитель \(2m\):
\[
8mn^2 — 2m = 2m(4n^2 — 1) = 2m(2n — 1)(2n + 1),
\]
поскольку \(4n^2 — 1 = (2n)^2 — 1^2\).

в знаменателе выносим общий множитель \(mn\):
\[
8mn^4 + mn = mn(8n^3 + 1).
\]

заметим, что \(8n^3 + 1 = (2n)^3 + 1^3\) — сумма кубов:
\[
8n^3 + 1 = (2n + 1)\big((2n)^2 — 2n \cdot 1 + 1^2\big) = (2n + 1)(4n^2 — 2n + 1).
\]

теперь дробь:
\[
\frac{2m(2n — 1)(2n + 1)}{mn(2n + 1)(4n^2 — 2n + 1)}.
\]

при условии \(m \ne 0\), \(n \ne 0\), \(2n + 1 \ne 0\), сокращаем \(m\), \(n\) и \((2n + 1)\). остаётся:
\[
\frac{2(2n — 1)}{n(4n^2 — 2n + 1)}.
\]

г)
дано выражение:
\[
\frac{y^6 + y^3}{y^6 — 1}.
\]

в числителе выносим общий множитель \(y^3\):
\[
y^6 + y^3 = y^3(y^3 + 1).
\]

знаменатель — разность квадратов:
\[
y^6 — 1 = (y^3)^2 — 1^2 = (y^3 — 1)(y^3 + 1).
\]

дробь:
\[
\frac{y^3(y^3 + 1)}{(y^3 — 1)(y^3 + 1)}.
\]

при условии \(y^3 + 1 \ne 0\), этот множитель сокращается. остаётся:
\[
\frac{y^3}{y^3 — 1}.
\]

ответ:
а) \(-\frac{3(p + 3)}{9 + 3p + p^2}\)
б) \(x^3 — y^3\)
в) \(\frac{2(2n — 1)}{n(4n^2 — 2n + 1)}\)
г) \(\frac{y^3}{y^3 — 1}\)