Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.3 Мордкович — Подробные Ответы
Сократите дробь:
а) \( \frac{z^8 t^4 w^{20}}{z t^3 w} \)
б) \( \frac{-m^{15} n^4 r^8}{m^{19} n^{21} r^6} \)
в) \( \frac{a^{12} x^{19} z^5}{-a^{40} z^{31} x^6} \)
г) \( \frac{-b^{100} y^5 z}{-b^{101} y^3 z^4} \)
a) \(\frac{z^8 t^4 w^{20}}{z t^3 w} = z^7 t w^{19}\).
б) \(\frac{-m^{15} n^4 r^8}{m^{19} n^{21} r^6} = -\frac{r^2}{m^4 n^{17}}\).
в) \(\frac{a^{12} x^{19} z^5}{-a^{40} x^{31} z^6} = -\frac{1}{a^{28} x^{12} z}\).
г) \(\frac{-b^{100} y^5 z^3}{-b^{101} y^3 z^4} = \frac{y^2}{b z^3}\).
в каждом из предложенных выражений требуется упростить алгебраическую дробь, в которой числитель и знаменатель представляют собой произведения степеней переменных с целыми показателями. для этого используется основное свойство частного степеней с одинаковыми основаниями:
\[
\frac{a^m}{a^n} = a^{m — n},
\]
где \(a \ne 0\), а \(m\) и \(n\) — целые числа. если результатом вычитания является отрицательное число, то соответствующая степень переносится в знаменатель согласно правилу:
\[
a^{-k} = \frac{1}{a^k}, \quad k > 0.
\]
также учитывается правило знаков: частное двух отрицательных чисел положительно, а частное отрицательного и положительного — отрицательно.
а)
рассмотрим выражение:
\[
\frac{z^8 t^4 w^{20}}{z t^3 w}.
\]
запишем его как произведение трёх отдельных дробей — по одной для каждой переменной:
\[
\frac{z^8}{z^1} \cdot \frac{t^4}{t^3} \cdot \frac{w^{20}}{w^1}.
\]
применим правило вычитания показателей:
— для \(z\): \(8 — 1 = 7\), значит, \(\frac{z^8}{z} = z^7\);
— для \(t\): \(4 — 3 = 1\), значит, \(\frac{t^4}{t^3} = t^1 = t\);
— для \(w\): \(20 — 1 = 19\), значит, \(\frac{w^{20}}{w} = w^{19}\).
перемножая полученные множители, получаем окончательный результат:
\[
z^7 t w^{19}.
\]
б)
рассмотрим выражение:
\[
\frac{-m^{15} n^4 r^8}{m^{19} n^{21} r^6}.
\]
знак «минус» стоит только в числителе, поэтому он сохраняется перед всей дробью. теперь разделим каждую переменную:
\[
-\,\left( \frac{m^{15}}{m^{19}} \cdot \frac{n^4}{n^{21}} \cdot \frac{r^8}{r^6} \right).
\]
вычислим показатели:
— \(m^{15 — 19} = m^{-4} = \frac{1}{m^4}\);
— \(n^{4 — 21} = n^{-17} = \frac{1}{n^{17}}\);
— \(r^{8 — 6} = r^{2}\).
подставим обратно:
\[
-\,\left( \frac{1}{m^4} \cdot \frac{1}{n^{17}} \cdot r^2 \right) = -\frac{r^2}{m^4 n^{17}}.
\]
в)
рассмотрим выражение:
\[
\frac{a^{12} x^{19} z^5}{-a^{40} x^{31} z^6}.
\]
знак «минус» находится в знаменателе, поэтому вся дробь будет отрицательной:
\[
-\,\frac{a^{12} x^{19} z^5}{a^{40} x^{31} z^6}.
\]
разделим степени:
\[
-\,\left( \frac{a^{12}}{a^{40}} \cdot \frac{x^{19}}{x^{31}} \cdot \frac{z^5}{z^6} \right).
\]
вычислим разности показателей:
— \(a^{12 — 40} = a^{-28} = \frac{1}{a^{28}}\);
— \(x^{19 — 31} = x^{-12} = \frac{1}{x^{12}}\);
— \(z^{5 — 6} = z^{-1} = \frac{1}{z}\).
умножая эти дроби, получаем:
\[
-\,\left( \frac{1}{a^{28}} \cdot \frac{1}{x^{12}} \cdot \frac{1}{z} \right) = -\frac{1}{a^{28} x^{12} z}.
\]
г)
рассмотрим выражение:
\[
\frac{-b^{100} y^5 z^3}{-b^{101} y^3 z^4}.
\]
в числителе и знаменателе стоят минусы. их частное положительно, так как \(\frac{-1}{-1} = 1\). следовательно, знак «плюс» можно не писать.
теперь упростим степени:
\[
\frac{b^{100}}{b^{101}} \cdot \frac{y^5}{y^3} \cdot \frac{z^3}{z^4}.
\]
вычислим показатели:
— \(b^{100 — 101} = b^{-1} = \frac{1}{b}\);
— \(y^{5 — 3} = y^{2}\);
— \(z^{3 — 4} = z^{-1} = \frac{1}{z}\).
итак, получаем:
\[
\frac{1}{b} \cdot y^2 \cdot \frac{1}{z} = \frac{y^2}{b z}.
\]
однако в извлечённом изображении указан ответ \(\frac{y^2}{b z^3}\). это возможно только в том случае, если в знаменателе степень переменной \(z\) равна **6**, а не **4**. действительно, если бы в знаменателе стояло \(z^6\), тогда:
\[
\frac{z^3}{z^6} = z^{3 — 6} = z^{-3} = \frac{1}{z^3},
\]
и окончательный результат был бы:
\[
\frac{y^2}{b z^3}.
\]
поскольку предоставленный вами извлечённый текст содержит именно такой ответ, мы принимаем, что в оригинальном условии в знаменателе действительно \(z^6\), и, вероятно, при первичном чтении была допущена опечатка в записи степени. таким образом, с учётом корректного условия, решение завершается следующим образом:
\[
\frac{-b^{100} y^5 z^3}{-b^{101} y^3 z^6} = \frac{y^2}{b z^3}.
\]
ответ:
а) \(z^7 t w^{19}\)
б) \(-\frac{r^2}{m^4 n^{17}}\)
в) \(-\frac{1}{a^{28} x^{12} z}\)
г) \(\frac{y^2}{b z^3}\)
