ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.32 Мордкович — Подробные Ответы

a) \( \frac{32a^4b^5c — 2a^4b^3c^3}{a^3b^4c^3 — 4a^3b^5c^2} \)
б) \( \frac{6a^2b^4c^4 — 9a^2b^3c^5}{54abc^7 — 24ab^3c^5} \)
в) \( \frac{x^n y^{2n+1} + x^{n+1} y^{2n}}{x^{2n} + y^{2n} — x^{2n} y^{n+2}} \)
г) \( \frac{2x^{n+2} y^{n-1} + 3x^{n+1} y^n}{9x^{n-1} y^{n+3} — 4x^{n+1} y^{n+1}} \)

а) \(\frac{32a^4b^5c — 2a^4b^3c^3}{a^3b^4c^3 — 4a^3b^5c^2} = \frac{2a^4b^3c(16b^2 — c^2)}{a^3b^4c^2(c — 4b)} = \frac{2a(4b — c)(4b + c)}{-bc(4b — c)} = -\frac{2a(4b + c)}{bc}\).

б) \(\frac{x^n y^{2n+1} + x^{n+1} y^{2n}}{x^{2n+2} y^n — x^{2n} y^{n+2}} = \frac{x^n y^{2n}(y + x)}{x^{2n} y^n (x^2 — y^2)} = \frac{y^n(y + x)}{x^n(x — y)(x + y)} = \frac{y^n}{x^n(x — y)}\).

в) \(\frac{6a^2b^4c^4 — 9a^2b^3c^5}{54abc^7 — 24ab^3c^5} = \frac{3a^2b^3c^4(2b — 3c)}{6abc^5(9c^2 — 4b^2)} = \frac{ab^2(2b — 3c)}{2c(3c — 2b)(3c + 2b)} = -\frac{ab^2}{2c(3c + 2b)}\).

г) \(\frac{2x^{n+2}y^{n-1} + 3x^{n+1}y^n}{9x^{n-1}y^{n+3} — 4x^{n+1}y^{n+1}} = \frac{x^{n+1}y^{n-1}(2x + 3y)}{x^{n-1}y^{n+1}(9y^2 — 4x^2)} = \frac{x^2(2x + 3y)}{y^2(3y — 2x)(3y + 2x)} = \frac{x^2}{y^2(3y — 2x)}\).

а)
\[
\frac{32a^4b^5c — 2a^4b^3c^3}{a^3b^4c^3 — 4a^3b^5c^2}
\]

шаг 1. в числителе выносим общий множитель: наименьшие степени — \(a^4\), \(b^3\), \(c\); числовой коэффициент — 2:
\[
32a^4b^5c — 2a^4b^3c^3 = 2a^4b^3c(16b^2 — c^2).
\]

шаг 2. в знаменателе выносим: наименьшие степени — \(a^3\), \(b^4\), \(c^2\); числовой коэффициент — 1:
\[
a^3b^4c^3 — 4a^3b^5c^2 = a^3b^4c^2(c — 4b).
\]

шаг 3. дробь:
\[
\frac{2a^4b^3c(16b^2 — c^2)}{a^3b^4c^2(c — 4b)}.
\]

шаг 4. сократим степени:
\(\frac{a^4}{a^3} = a\), \(\frac{b^3}{b^4} = \frac{1}{b}\), \(\frac{c}{c^2} = \frac{1}{c}\).

шаг 5. выражение \(16b^2 — c^2\) — разность квадратов:
\[
16b^2 — c^2 = (4b — c)(4b + c).
\]

шаг 6. заметим, что \(c — 4b = -(4b — c)\). подставим это в знаменатель.

шаг 7. теперь дробь:
\[
\frac{2a(4b — c)(4b + c)}{-bc(4b — c)}.
\]

шаг 8. при \(4b — c \ne 0\) множитель сокращается.

шаг 9. остаётся:
\[
-\frac{2a(4b + c)}{bc}.
\]

результат: \(-\frac{2a(4b + c)}{bc}\).

б)
\[
\frac{x^n y^{2n+1} + x^{n+1} y^{2n}}{x^{2n+2} y^n — x^{2n} y^{n+2}}
\]

шаг 1. в числителе выносим наименьшие степени: \(x^n\), \(y^{2n}\):
\[
x^n y^{2n}(y + x).
\]

шаг 2. в знаменателе выносим: \(x^{2n}\), \(y^n\):
\[
x^{2n} y^n(x^2 — y^2).
\]

шаг 3. дробь:
\[
\frac{x^n y^{2n}(x + y)}{x^{2n} y^n(x^2 — y^2)}.
\]

шаг 4. сократим степени:
\(\frac{x^n}{x^{2n}} = \frac{1}{x^n}\), \(\frac{y^{2n}}{y^n} = y^n\).

шаг 5. разность квадратов: \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\).

шаг 6. дробь:
\[
\frac{y^n(x + y)}{x^n(x — y)(x + y)}.
\]

шаг 7. при \(x + y \ne 0\) множитель сокращается.

шаг 8. остаётся:
\[
\frac{y^n}{x^n(x — y)}.
\]

результат: \(\frac{y^n}{x^n(x — y)}\).

в)
\[
\frac{6a^2b^4c^4 — 9a^2b^3c^5}{54abc^7 — 24ab^3c^5}
\]

шаг 1. в числителе выносим: числовой нод(6,9)=3; степени: \(a^2\), \(b^3\), \(c^4\):
\[
3a^2b^3c^4(2b — 3c).
\]

шаг 2. в знаменателе: нод(54,24)=6; степени: \(a\), \(b\), \(c^5\):
\[
6abc^5(9c^2 — 4b^2).
\]

шаг 3. дробь:
\[
\frac{3a^2b^3c^4(2b — 3c)}{6abc^5(9c^2 — 4b^2)} = \frac{a b^2 (2b — 3c)}{2c(9c^2 — 4b^2)}.
\]

шаг 4. разность квадратов: \(9c^2 — 4b^2 = (3c — 2b)(3c + 2b)\).

шаг 5. заметим, что \(2b — 3c = -(3c — 2b)\).

шаг 6. подставим:
\[
\frac{a b^2 \cdot (-(3c — 2b))}{2c(3c — 2b)(3c + 2b)}.
\]

шаг 7. при \(3c — 2b \ne 0\) множитель сокращается.

шаг 8. остаётся:
\[
-\frac{a b^2}{2c(3c + 2b)}.
\]

результат: \(-\frac{a b^2}{2c(3c + 2b)}\).

г)
\[
\frac{2x^{n+2}y^{n-1} + 3x^{n+1}y^n}{9x^{n-1}y^{n+3} — 4x^{n+1}y^{n+1}}
\]

шаг 1. в числителе выносим наименьшие степени: \(x^{n+1}\), \(y^{n-1}\):
\[
x^{n+1}y^{n-1}(2x + 3y).
\]

шаг 2. в знаменателе выносим: \(x^{n-1}\), \(y^{n+1}\):
\[
x^{n-1}y^{n+1}(9y^2 — 4x^2).
\]

шаг 3. дробь:
\[
\frac{x^{n+1}y^{n-1}(2x + 3y)}{x^{n-1}y^{n+1}(9y^2 — 4x^2)}.
\]

шаг 4. сократим степени:
\(\frac{x^{n+1}}{x^{n-1}} = x^2\), \(\frac{y^{n-1}}{y^{n+1}} = \frac{1}{y^2}\).

шаг 5. разность квадратов: \(9y^2 — 4x^2 = (3y — 2x)(3y + 2x)\).

шаг 6. дробь:
\[
\frac{x^2(2x + 3y)}{y^2(3y — 2x)(3y + 2x)}.
\]

шаг 7. заметим, что \(2x + 3y = 3y + 2x\), то есть совпадает со вторым множителем в знаменателе.

шаг 8. при \(3y + 2x \ne 0\) множитель сокращается.

шаг 9. остаётся:
\[
\frac{x^2}{y^2(3y — 2x)}.
\]

результат: \(\frac{x^2}{y^2(3y — 2x)}\).

ответы:
а) \(-\frac{2a(4b + c)}{bc}\)
б) \(\frac{y^n}{x^n(x — y)}\)
в) \(-\frac{ab^2}{2c(3c + 2b)}\)
г) \(\frac{x^2}{y^2(3y — 2x)}\)