Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.33 Мордкович — Подробные Ответы
a) \( \frac{32a^4b — 80a^3b^2 + 50a^2b^3}{20ab^3 — 16a^2b^2} \)
б) \( \frac{18a^3b^2 + 36ab^4}{96a^2b^5 + 96a^4b^3 + 24a^6b} \)
в) \( \frac{18a^4b^2 — 30a^3b^3}{75a^2b^5 — 90a^3b^4 + 27a^4b^3} \)
г) \( \frac{10a^2b^8 + 60a^4b^6 + 90a^6b^4}{45a^5b + 15a^3b^3} \)
а) \(\frac{32a^4b — 80a^3b^2 + 50a^2b^3}{20ab^3 — 16a^2b^2} = \frac{2a^2b(16a^2 — 40ab + 25b^2)}{4ab^2(5b — 4a)} = \frac{a(4a — 5b)^2}{2b(5b — 4a)} = \frac{a(5b — 4a)}{2b}\).
б) \(\frac{18a^3b^2 + 36ab^4}{96a^2b^5 + 96a^4b^3 + 24a^6b} = \frac{18ab^2(a^2 + 2b^2)}{24a^2b(4b^4 + 4a^2b^2 + a^4)} = \frac{3b(a^2 + 2b^2)}{4a(2b^2 + a^2)^2} = \frac{3b}{4a(2b^2 + a^2)}\).
в) \(\frac{18a^4b^2 — 30a^3b^3}{75a^2b^5 — 90a^3b^4 + 27a^4b^3} = \frac{6a^3b^2(3a — 5b)}{3a^2b^3(25b^2 — 30ab + 9a^2)} = \frac{2a(3a — 5b)}{b(5b — 3a)^2} = \frac{2a}{b(3a — 5b)}\).
г) \(\frac{10a^2b^8 + 60a^4b^6 + 90a^6b^4}{45a^5b + 15a^3b^3} = \frac{10a^2b^4(b^4 + 6a^2b^2 + 9a^4)}{15a^3b(3a^2 + b^2)} = \frac{2b^3(b^2 + 3a^2)^2}{3a(3a^2 + b^2)} = \frac{2b^3(3a^2 + b^2)}{3a}\).
а)
\[
\frac{32a^4b — 80a^3b^2 + 50a^2b^3}{20ab^3 — 16a^2b^2}
\]
шаг 1. в числителе выносим общий множитель:
наименьшая степень \(a\) — \(a^2\), \(b\) — \(b\); числовой нод(32, 80, 50) = 2:
\[
2a^2b(16a^2 — 40ab + 25b^2).
\]
шаг 2. выражение в скобках — полный квадрат:
\[
16a^2 — 40ab + 25b^2 = (4a — 5b)^2.
\]
шаг 3. в знаменателе выносим: нод(20, 16) = 4; степени: \(a\), \(b^2\):
\[
4ab^2(5b — 4a).
\]
шаг 4. дробь:
\[
\frac{2a^2b(4a — 5b)^2}{4ab^2(5b — 4a)} = \frac{a(4a — 5b)^2}{2b(5b — 4a)}.
\]
шаг 5. заметим, что \(5b — 4a = -(4a — 5b)\). подставим:
\[
\frac{a(4a — 5b)^2}{2b \cdot (-(4a — 5b))} = -\frac{a(4a — 5b)}{2b}.
\]
шаг 6. однако в оригинале результат записан как \(\frac{a(5b — 4a)}{2b}\). поскольку \(5b — 4a = -(4a — 5b)\), это эквивалентно:
\[
\frac{a(5b — 4a)}{2b} = -\frac{a(4a — 5b)}{2b}.
\]
таким образом, форма согласуется с логикой автора.
результат: \(\frac{a(5b — 4a)}{2b}\).
б)
\[
\frac{18a^3b^2 + 36ab^4}{96a^2b^5 + 96a^4b^3 + 24a^6b}
\]
шаг 1. в числителе выносим: нод(18, 36) = 18; степени: \(a\), \(b^2\):
\[
18ab^2(a^2 + 2b^2).
\]
шаг 2. в знаменателе выносим: нод(96, 96, 24) = 24; степени: \(a\), \(b\):
\[
24a^2b(4b^4 + 4a^2b^2 + a^4).
\]
шаг 3. выражение в скобках — полный квадрат:
\[
a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2)^2.
\]
шаг 4. дробь:
\[
\frac{18ab^2(a^2 + 2b^2)}{24a^2b(a^2 + 2b^2)^2} = \frac{3b(a^2 + 2b^2)}{4a(a^2 + 2b^2)^2}.
\]
шаг 5. сокращаем один множитель \((a^2 + 2b^2)\):
\[
\frac{3b}{4a(a^2 + 2b^2)}.
\]
(в оригинале порядок слагаемых в скобке изменён: \(2b^2 + a^2\), что эквивалентно.)
результат: \(\frac{3b}{4a(2b^2 + a^2)}\).
в)
\[
\frac{18a^4b^2 — 30a^3b^3}{75a^2b^5 — 90a^3b^4 + 27a^4b^3}
\]
шаг 1. в числителе выносим: нод(18, 30) = 6; степени: \(a^3\), \(b^2\):
\[
6a^3b^2(3a — 5b).
\]
шаг 2. в знаменателе выносим: нод(75, 90, 27) = 3; степени: \(a^2\), \(b^3\):
\[
3a^2b^3(25b^2 — 30ab + 9a^2).
\]
шаг 3. выражение в скобках — полный квадрат:
\[
9a^2 — 30ab + 25b^2 = (3a — 5b)^2,
\]
но в оригинале записано как \(25b^2 — 30ab + 9a^2 = (5b — 3a)^2\), что верно, так как \((5b — 3a)^2 = (3a — 5b)^2\).
шаг 4. дробь:
\[
\frac{6a^3b^2(3a — 5b)}{3a^2b^3(5b — 3a)^2} = \frac{2a(3a — 5b)}{b(5b — 3a)^2}.
\]
шаг 5. поскольку \((5b — 3a)^2 = (3a — 5b)^2\), можно записать знаменатель как \((3a — 5b)^2\).
шаг 6. тогда:
\[
\frac{2a(3a — 5b)}{b(3a — 5b)^2} = \frac{2a}{b(3a — 5b)}.
\]
результат: \(\frac{2a}{b(3a — 5b)}\).
г)
\[
\frac{10a^2b^8 + 60a^4b^6 + 90a^6b^4}{45a^5b + 15a^3b^3}
\]
шаг 1. в числителе выносим: нод(10, 60, 90) = 10; степени: \(a^2\), \(b^4\):
\[
10a^2b^4(b^4 + 6a^2b^2 + 9a^4).
\]
шаг 2. выражение в скобках — полный квадрат:
\[
b^4 + 6a^2b^2 + 9a^4 = (b^2 + 3a^2)^2.
\]
шаг 3. в знаменателе выносим: нод(45, 15) = 15; степени: \(a^3\), \(b\):
\[
15a^3b(3a^2 + b^2).
\]
шаг 4. дробь:
\[
\frac{10a^2b^4(b^2 + 3a^2)^2}{15a^3b(3a^2 + b^2)} = \frac{2b^3(b^2 + 3a^2)^2}{3a(3a^2 + b^2)}.
\]
шаг 5. поскольку \(b^2 + 3a^2 = 3a^2 + b^2\), один множитель сокращается:
\[
\frac{2b^3(3a^2 + b^2)}{3a}.
\]
результат: \(\frac{2b^3(3a^2 + b^2)}{3a}\).
ответы:
а) \(\frac{a(5b — 4a)}{2b}\)
б) \(\frac{3b}{4a(2b^2 + a^2)}\)
в) \(\frac{2a}{b(3a — 5b)}\)
г) \(\frac{2b^3(3a^2 + b^2)}{3a}\)
