ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.35 Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \frac{18x^5 — 72x^3y^2}{12x^3y^2 — 48x^2y^3 + 48xy^4} \)
б) \( \frac{72a^2bc^3 — 96a^4bc^2 + 32a^6bc}{16a^5b^2c^3 — 36ab^2c^5} \)
в) \( \frac{135a^3b^3 + 180a^2b^4 + 60ab^5}{225a^5b — 100a^3b^3} \)
г) \( \frac{150x^5y^2z — 24x^3yz}{40xy^5z^2 — 200x^2y^3z^2 + 250x^3yz^2} \)

a) \(\frac{18x^5 — 72x^3y^2}{12x^3y^2 — 48x^2y^3 + 48xy^4} = \frac{18x^3(x^2 — 4y^2)}{12xy^2(x^2 — 4xy + 4y^2)} =\)
\[
= \frac{3x^2(x — 2y)(x + 2y)}{2y^2(x — 2y)^2} = \frac{3x^2(x + 2y)}{2y^2(x — 2y)}.
\]

б) \(\frac{72a^2bc^3 — 96a^4bc^2 + 32a^6bc}{16a^5b^2c^3 — 36ab^2c^5} = \frac{8a^2bc(9c^2 — 12a^2c + 4a^4)}{4ab^2c^3(4a^4 — 9c^2)} =\)
\[
= \frac{2a(3c — 2a^2)^2}{bc^2(2a^2 — 3c)(2a^2 + 3c)} = \frac{2a(2a^2 — 3c)}{bc^2(2a^2 + 3c)}.
\]

в) \(\frac{135a^3b^3 + 180a^2b^4 + 60ab^5}{225a^5b — 100a^3b^3} = \frac{15ab^3(9a^2 + 12ab + 4b^2)}{25a^3b(9a^2 — 4b^2)} =\)
\[
= \frac{3b^2(3a + 2b)^2}{5a^2(3a — 2b)(3a + 2b)} = \frac{3b^2(3a + 2b)}{5a^2(3a — 2b)}.
\]

г) \(\frac{150x^5y^2z — 24x^3y^6z}{40xy^5z^2 — 200x^2y^3z^2 + 250x^3yz^2} = \frac{6x^3y^2z(25x^2 — 4y^4)}{10xyz^2(4y^4 — 20xy^2 + 25x^2)} =\)
\[
= \frac{3x^2y(5x — 2y^2)(5x + 2y^2)}{5z(2y^2 — 5x)^2} = \frac{3x^2y(5x + 2y^2)}{5z(5x — 2y^2)}.
\].

а)
\[
\frac{18x^5 — 72x^3y^2}{12x^3y^2 — 48x^2y^3 + 48xy^4}
\]

вынесем общие множители:
\[
= \frac{18x^3(x^2 — 4y^2)}{12xy^2(x^2 — 4xy + 4y^2)}
\]

разложим на множители:
\[
x^2 — 4y^2 = (x — 2y)(x + 2y), \quad x^2 — 4xy + 4y^2 = (x — 2y)^2
\]

подставим:
\[
= \frac{18x^3(x — 2y)(x + 2y)}{12xy^2(x — 2y)^2}
\]

сократим числовые коэффициенты и степени:
\[
\frac{18}{12} = \frac{3}{2}, \quad \frac{x^3}{x} = x^2, \quad \frac{(x — 2y)}{(x — 2y)^2} = \frac{1}{x — 2y}
\]

итог:
\[
= \frac{3x^2(x + 2y)}{2y^2(x — 2y)}
\]

б)
\[
\frac{72a^2bc^3 — 96a^4bc^2 + 32a^6bc}{16a^5b^2c^3 — 36ab^2c^5}
\]

вынесем общие множители:
\[
= \frac{8a^2bc(9c^2 — 12a^2c + 4a^4)}{4ab^2c^3(4a^4 — 9c^2)}
\]

заметим:
\[
9c^2 — 12a^2c + 4a^4 = (3c — 2a^2)^2, \quad 4a^4 — 9c^2 = (2a^2 — 3c)(2a^2 + 3c)
\]

также \((3c — 2a^2)^2 = (2a^2 — 3c)^2\), поэтому:
\[
= \frac{8a^2bc(2a^2 — 3c)^2}{4ab^2c^3(2a^2 — 3c)(2a^2 + 3c)}
\]

сократим:
\[
\frac{8}{4} = 2, \quad \frac{a^2}{a} = a, \quad \frac{b}{b^2} = \frac{1}{b}, \quad \frac{c}{c^3} = \frac{1}{c^2}, \quad \frac{(2a^2 — 3c)^2}{(2a^2 — 3c)} = (2a^2 — 3c)
\]

итог:
\[
= \frac{2a(2a^2 — 3c)}{bc^2(2a^2 + 3c)}
\]

в)
\[
\frac{135a^3b^3 + 180a^2b^4 + 60ab^5}{225a^5b — 100a^3b^3}
\]

вынесем общие множители:
\[
= \frac{15ab^3(9a^2 + 12ab + 4b^2)}{25a^3b(9a^2 — 4b^2)}
\]

разложим:
\[
9a^2 + 12ab + 4b^2 = (3a + 2b)^2, \quad 9a^2 — 4b^2 = (3a — 2b)(3a + 2b)
\]

подставим:
\[
= \frac{15ab^3(3a + 2b)^2}{25a^3b(3a — 2b)(3a + 2b)}
\]

сократим:
\[
\frac{15}{25} = \frac{3}{5}, \quad \frac{a}{a^3} = \frac{1}{a^2}, \quad \frac{b^3}{b} = b^2, \quad \frac{(3a + 2b)^2}{(3a + 2b)} = (3a + 2b)
\]

итог:
\[
= \frac{3b^2(3a + 2b)}{5a^2(3a — 2b)}
\]

г)
\[
\frac{150x^5y^2z — 24x^3y^6z}{40xy^5z^2 — 200x^2y^3z^2 + 250x^3yz^2}
\]

вынесем общие множители:
\[
= \frac{6x^3y^2z(25x^2 — 4y^4)}{10xyz^2(4y^4 — 20xy^2 + 25x^2)}
\]

разложим:
\[
25x^2 — 4y^4 = (5x — 2y^2)(5x + 2y^2), \quad 4y^4 — 20xy^2 + 25x^2 = (2y^2 — 5x)^2
\]

заметим: \(5x — 2y^2 = -(2y^2 — 5x)\), но в квадрате знак не важен, поэтому можно писать знаменатель как \((5x — 2y^2)^2\).

тогда:
\[
= \frac{6x^3y^2z(5x — 2y^2)(5x + 2y^2)}{10xyz^2(5x — 2y^2)^2}
\]

сократим:
\[
\frac{6}{10} = \frac{3}{5}, \quad \frac{x^3}{x} = x^2, \quad \frac{y^2}{y} = y, \quad \frac{z}{z^2} = \frac{1}{z}, \quad \frac{(5x — 2y^2)}{(5x — 2y^2)^2} = \frac{1}{5x — 2y^2}
\]

итог:
\[
= \frac{3x^2y(5x + 2y^2)}{5z(5x — 2y^2)}
\]

ответ:
а) \(\frac{3x^2(x + 2y)}{2y^2(x — 2y)}\)
б) \(\frac{2a(2a^2 — 3c)}{bc^2(2a^2 + 3c)}\)
в) \(\frac{3b^2(3a + 2b)}{5a^2(3a — 2b)}\)
г) \(\frac{3x^2y(5x + 2y^2)}{5z(5x — 2y^2)}\)