ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.36 Мордкович — Подробные Ответы

а) \( \frac{x^{3n} — x^n y^{2n}}{3x^{3n} + 6x^{2n}y^n + 3x^n y^{2n}} \)
б) \( \frac{a^{3n-1}b^{n+1} — 4a^{n-1}b^{n+1}}{4a^n b^{n-1} — 4a^{2n}b^{n-1} + a^{3n}b^{n-1}} \)
в) \( \frac{2a^{n+1} — 4a^{2n+1} + 2a^{3n+1}}{4a^{3n} — 4a^n} \)
г) \( \frac{54xy^{3n}z^n — 72x^{n+1}y^{2n}z^n + 24x^{2n+1}y^n z^n}{12x^{2n+2}y^{n-1}z^{n+1} — 27x^2y^{3n-1}z^{n+1}} \)

а) \(\frac{x^{3n} — x^n y^{2n}}{3x^{3n} + 6x^{2n}y^n + 3x^n y^{2n}} = \frac{x^n(x^{2n} — y^{2n})}{3x^n(x^{2n} + 2x^n y^n + y^{2n})} = \frac{(x^n — y^n)(x^n + y^n)}{3(x^n + y^n)^2} = \frac{x^n — y^n}{3(x^n + y^n)}\).

б) \(\frac{a^{3n-1}b^{n+1} — 4a^{n-1}b^{n+1}}{4a^n b^{n-1} — 4a^{2n}b^{n-1} + a^{3n}b^{n-1}} = \frac{a^{n-1}b^{n+1}(a^{2n} — 4)}{a^n b^{n-1}(4 — 4a^n + a^{2n})} = \frac{b^2(a^n — 2)(a^n + 2)}{a(2 — a^n)^2} = \frac{b^2(a^n + 2)}{a(a^n — 2)}\).

в) \(\frac{2a^{n+1} — 4a^{2n+1} + 2a^{3n+1}}{4a^{3n} — 4a^n} = \frac{2a^{n+1}(1 — 2a^n + a^{2n})}{4a^n(a^{2n} — 1)} = \frac{a(1 — a^n)^2}{2(a^n — 1)(a^n + 1)} = \frac{a(a^n — 1)}{2(a^n + 1)}\).

г) \(\frac{54x y^{3n} z^n — 72x^{2n+1} y^{2n} z^n + 24x^{2n+1} y^n z^n}{12x^{2n+2} y^{n-1} z^{n+1} — 27x^2 y^{3n-1} z^{n+1}} = \frac{6x y^n z^n(9y^{2n} — 12x^n y^n + 4x^{2n})}{3x^2 y^{n-1} z^{n+1}(4x^{2n} — 9y^{2n})}\)

\(= \frac{2y(3y^n — 2x^n)^2}{x z (2x^n — 3y^n)(2x^n + 3y^n)} = \frac{2y(2x^n — 3y^n)}{x z (2x^n + 3y^n)}\).

а)
\[
\frac{x^{3n} — x^n y^{2n}}{3x^{3n} + 6x^{2n}y^n + 3x^n y^{2n}}
\]

шаг 1. в числителе выносим наименьшую степень \(x\): \(x^n\):
\[
x^n(x^{2n} — y^{2n}).
\]

шаг 2. в знаменателе выносим: \(3x^n\):
\[
3x^n(x^{2n} + 2x^n y^n + y^{2n}).
\]

шаг 3. дробь:
\[
\frac{x^n(x^{2n} — y^{2n})}{3x^n(x^{2n} + 2x^n y^n + y^{2n})}.
\]

шаг 4. сокращаем \(x^n\) (при \(x \ne 0\)).

шаг 5. распознаём формулы:
— \(x^{2n} — y^{2n} = (x^n — y^n)(x^n + y^n)\) (разность квадратов),
— \(x^{2n} + 2x^n y^n + y^{2n} = (x^n + y^n)^2\) (полный квадрат).

шаг 6. подставим:
\[
\frac{(x^n — y^n)(x^n + y^n)}{3(x^n + y^n)^2}.
\]

шаг 7. при \(x^n + y^n \ne 0\) один множитель сокращается.

шаг 8. остаётся:
\[
\frac{x^n — y^n}{3(x^n + y^n)}.
\]

результат: \(\frac{x^n — y^n}{3(x^n + y^n)}\).

б)
\[
\frac{a^{3n-1}b^{n+1} — 4a^{n-1}b^{n+1}}{4a^n b^{n-1} — 4a^{2n}b^{n-1} + a^{3n}b^{n-1}}
\]

шаг 1. в числителе выносим наименьшие степени: \(a^{n-1}\), \(b^{n+1}\):
\[
a^{n-1}b^{n+1}(a^{2n} — 4).
\]

шаг 2. в знаменателе выносим: \(a^n\), \(b^{n-1}\):
\[
a^n b^{n-1}(4 — 4a^n + a^{2n}) = a^n b^{n-1}(a^{2n} — 4a^n + 4).
\]

шаг 3. дробь:
\[
\frac{a^{n-1}b^{n+1}(a^{2n} — 4)}{a^n b^{n-1}(a^{2n} — 4a^n + 4)}.
\]

шаг 4. сокращаем степени:
— \(a\): \(\frac{a^{n-1}}{a^n} = \frac{1}{a}\),
— \(b\): \(\frac{b^{n+1}}{b^{n-1}} = b^2\).

шаг 5. распознаём:
— \(a^{2n} — 4 = (a^n — 2)(a^n + 2)\),
— \(a^{2n} — 4a^n + 4 = (a^n — 2)^2\).

шаг 6. дробь:
\[
\frac{b^2(a^n — 2)(a^n + 2)}{a(a^n — 2)^2}.
\]

шаг 7. при \(a^n \ne 2\) один множитель \((a^n — 2)\) сокращается.

шаг 8. остаётся:
\[
\frac{b^2(a^n + 2)}{a(a^n — 2)}.
\]

результат: \(\frac{b^2(a^n + 2)}{a(a^n — 2)}\).

в)
\[
\frac{2a^{n+1} — 4a^{2n+1} + 2a^{3n+1}}{4a^{3n} — 4a^n}
\]

шаг 1. в числителе выносим: \(2a^{n+1}\):
\[
2a^{n+1}(1 — 2a^n + a^{2n}).
\]

шаг 2. в знаменателе выносим: \(4a^n\):
\[
4a^n(a^{2n} — 1).
\]

шаг 3. дробь:
\[
\frac{2a^{n+1}(1 — 2a^n + a^{2n})}{4a^n(a^{2n} — 1)} = \frac{a(1 — 2a^n + a^{2n})}{2(a^{2n} — 1)}.
\]

шаг 4. распознаём:
— \(1 — 2a^n + a^{2n} = (1 — a^n)^2\),
— \(a^{2n} — 1 = (a^n — 1)(a^n + 1)\).

шаг 5. заметим, что \((1 — a^n)^2 = (a^n — 1)^2\).

шаг 6. подставим:
\[
\frac{a(a^n — 1)^2}{2(a^n — 1)(a^n + 1)}.
\]

шаг 7. при \(a^n \ne 1\) один множитель сокращается.

шаг 8. остаётся:
\[
\frac{a(a^n — 1)}{2(a^n + 1)}.
\]

результат: \(\frac{a(a^n — 1)}{2(a^n + 1)}\).

г)
\[
\frac{54x y^{3n} z^n — 72x^{2n+1} y^{2n} z^n + 24x^{2n+1} y^n z^n}{12x^{2n+2} y^{n-1} z^{n+1} — 27x^2 y^{3n-1} z^{n+1}}
\]

шаг 1. в числителе выносим общий множитель: нод(54, 72, 24) = 6; степени: \(x\), \(y^n\), \(z^n\):
\[
6x y^n z^n(9y^{2n} — 12x^n y^n + 4x^{2n}).
\]

шаг 2. выражение в скобках — полный квадрат:
\[
9y^{2n} — 12x^n y^n + 4x^{2n} = (3y^n — 2x^n)^2.
\]

шаг 3. в знаменателе выносим: нод(12, 27) = 3; степени: \(x^2\), \(y^{n-1}\), \(z^{n+1}\):
\[
3x^2 y^{n-1} z^{n+1}(4x^{2n} — 9y^{2n}).
\]

шаг 4. разность квадратов:
\[
4x^{2n} — 9y^{2n} = (2x^n — 3y^n)(2x^n + 3y^n).
\]

шаг 5. дробь:
\[
\frac{6x y^n z^n(3y^n — 2x^n)^2}{3x^2 y^{n-1} z^{n+1}(2x^n — 3y^n)(2x^n + 3y^n)}.
\]

шаг 6. сокращаем:
— числовой коэффициент: \(\frac{6}{3} = 2\),
— \(x\): \(\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}\),
— \(y\): \(\frac{y^n}{y^{n-1}} = y\),
— \(z\): \(\frac{z^n}{z^{n+1}} = \frac{1}{z}\).

шаг 7. заметим, что \((3y^n — 2x^n)^2 = (2x^n — 3y^n)^2\).

шаг 8. тогда:
\[
\frac{2y(2x^n — 3y^n)^2}{x z (2x^n — 3y^n)(2x^n + 3y^n)}.
\]

шаг 9. при \(2x^n \ne 3y^n\) один множитель сокращается.

шаг 10. остаётся:
\[
\frac{2y(2x^n — 3y^n)}{x z (2x^n + 3y^n)}.
\]

результат: \(\frac{2y(2x^n — 3y^n)}{x z (2x^n + 3y^n)}\).

ответы:
а) \(\frac{x^n — y^n}{3(x^n + y^n)}\)
б) \(\frac{b^2(a^n + 2)}{a(a^n — 2)}\)
в) \(\frac{a(a^n — 1)}{2(a^n + 1)}\)
г) \(\frac{2y(2x^n — 3y^n)}{x z (2x^n + 3y^n)}\)