ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.39 Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) \( \frac{27^5 + 27^4}{9^8 + 9^7 + 9^9} \)
б) \( \frac{16^7 — 16^6}{8^{10} — 8^9 + 8^8} \)
в) \( \frac{8^{11} — 8^{10} — 8^9}{4^{15} — 4^{14} — 4^{13}} \)
г) \( \frac{9^{23} + 9^{22} + 9^{21}}{27^{14} — 27^{13}} \)

а) \(\frac{27^5 + 27^4}{9^8 + 9^7 + 9^9} = \frac{27^4(27 + 1)}{9^7(9 + 1 + 9^2)} = \frac{(3^3)^4 \cdot 28}{(3^2)^7 \cdot (9 + 1 + 81)} = \frac{3^{12} \cdot 28}{3^{14} \cdot 91} = \frac{4}{3^2 \cdot 13} = \frac{4}{9 \cdot 13} = \frac{4}{117}\).

б) \(\frac{16^7 — 16^6}{8^{10} — 8^9 + 8^8} = \frac{16^6(16 — 1)}{8^8(8^2 — 8 + 1)} = \frac{(2^4)^6 \cdot 15}{(2^3)^8 \cdot (64 — 7)} = \frac{2^{24} \cdot 15}{2^{24} \cdot 57} = \frac{15}{57} = \frac{5}{19}\).

в) \(\frac{8^{11} — 8^{10} — 8^9}{4^{15} — 4^{14} — 4^{13}} = \frac{8^9(8^2 — 8 — 1)}{4^{13}(4^2 — 4 — 1)} = \frac{(2^3)^9 \cdot (64 — 9)}{(2^2)^{13} \cdot (16 — 5)} = \frac{2^{27} \cdot 55}{2^{26} \cdot 11} = \frac{2 \cdot 5}{1 \cdot 1} = 10\).

г) \(\frac{9^{23} + 9^{22} + 9^{21}}{27^{14} — 27^{13}} = \frac{9^{21}(9^2 + 9 + 1)}{27^{13}(27 — 1)} = \frac{(3^2)^{21} \cdot (81 + 10)}{(3^3)^{13} \cdot 26} = \frac{3^{42} \cdot 91}{3^{39} \cdot 26} = \frac{3^3 \cdot 7}{2} = \frac{27 \cdot 7}{2} = \frac{189}{2} = 94,5\).

а)
\[
\frac{27^5 + 27^4}{9^8 + 9^7 + 9^9}
\]

шаг 1. в числителе выносим наименьшую степень: \(27^4\):
\[
27^4(27 + 1) = 27^4 \cdot 28.
\]

шаг 2. в знаменателе выносим наименьшую степень: \(9^7\):
\[
9^7(9 + 1 + 9^2) = 9^7(9 + 1 + 81) = 9^7 \cdot 91.
\]

шаг 3. представим основания как степени числа \(3\):
— \(27 = 3^3 \Rightarrow 27^4 = (3^3)^4 = 3^{12}\),
— \(9 = 3^2 \Rightarrow 9^7 = (3^2)^7 = 3^{14}\).

шаг 4. подставим:
\[
\frac{3^{12} \cdot 28}{3^{14} \cdot 91}.
\]

шаг 5. сократим степени: \(\frac{3^{12}}{3^{14}} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\).

шаг 6. разложим числа:
— \(28 = 4 \cdot 7\),
— \(91 = 13 \cdot 7\).

шаг 7. сократим общий множитель \(7\):
\[
\frac{4}{9 \cdot 13} = \frac{4}{117}.
\]

результат: \(\frac{4}{117}\).

б)
\[
\frac{16^7 — 16^6}{8^{10} — 8^9 + 8^8}
\]

шаг 1. в числителе выносим \(16^6\):
\[
16^6(16 — 1) = 16^6 \cdot 15.
\]

шаг 2. в знаменателе выносим \(8^8\):
\[
8^8(8^2 — 8 + 1) = 8^8(64 — 8 + 1) = 8^8 \cdot 57.
\]

шаг 3. перейдём к основанию \(2\):
— \(16 = 2^4 \Rightarrow 16^6 = (2^4)^6 = 2^{24}\),
— \(8 = 2^3 \Rightarrow 8^8 = (2^3)^8 = 2^{24}\).

шаг 4. подставим:
\[
\frac{2^{24} \cdot 15}{2^{24} \cdot 57}.
\]

шаг 5. степени \(2^{24}\) сокращаются полностью.

шаг 6. сократим дробь \(\frac{15}{57}\): нод(15, 57) = 3, поэтому:
\[
\frac{15}{57} = \frac{5}{19}.
\]

результат: \(\frac{5}{19}\).

в)
\[
\frac{8^{11} — 8^{10} — 8^9}{4^{15} — 4^{14} — 4^{13}}
\]

шаг 1. в числителе выносим \(8^9\):
\[
8^9(8^2 — 8 — 1) = 8^9(64 — 8 — 1) = 8^9 \cdot 55.
\]

шаг 2. в знаменателе выносим \(4^{13}\):
\[
4^{13}(4^2 — 4 — 1) = 4^{13}(16 — 4 — 1) = 4^{13} \cdot 11.
\]

шаг 3. перейдём к основанию \(2\):
— \(8 = 2^3 \Rightarrow 8^9 = (2^3)^9 = 2^{27}\),
— \(4 = 2^2 \Rightarrow 4^{13} = (2^2)^{13} = 2^{26}\).

шаг 4. подставим:
\[
\frac{2^{27} \cdot 55}{2^{26} \cdot 11}.
\]

шаг 5. сократим степени: \(\frac{2^{27}}{2^{26}} = 2\).

шаг 6. разложим: \(55 = 5 \cdot 11\), сократим \(11\):
\[
2 \cdot 5 = 10.
\]

результат: \(10\).

г)
\[
\frac{9^{23} + 9^{22} + 9^{21}}{27^{14} — 27^{13}}
\]

шаг 1. в числителе выносим наименьшую степень: \(9^{21}\):
\[
9^{21}(9^2 + 9 + 1) = 9^{21}(81 + 9 + 1) = 9^{21} \cdot 91.
\]

шаг 2. в знаменателе выносим \(27^{13}\):
\[
27^{13}(27 — 1) = 27^{13} \cdot 26.
\]

шаг 3. перейдём к основанию \(3\):
— \(9 = 3^2 \Rightarrow 9^{21} = (3^2)^{21} = 3^{42}\),
— \(27 = 3^3 \Rightarrow 27^{13} = (3^3)^{13} = 3^{39}\).

шаг 4. подставим:
\[
\frac{3^{42} \cdot 91}{3^{39} \cdot 26}.
\]

шаг 5. сократим степени: \(\frac{3^{42}}{3^{39}} = 3^3 = 27\).

шаг 6. разложим числа:
— \(91 = 7 \cdot 13\),
— \(26 = 2 \cdot 13\).

шаг 7. сократим \(13\):
\[
\frac{27 \cdot 7}{2} = \frac{189}{2}.
\]

шаг 8. в десятичной форме:
\[
\frac{189}{2} = 94,5.
\]

результат: \(94,5\).

ответы:
а) \(\frac{4}{117}\)
б) \(\frac{5}{19}\)
в) \(10\)
г) \(94,5\)