Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.40 Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \frac{47^3 + 33^3}{47^2 — 47 \cdot 33 + 33^2} \)
б) \( \frac{27^3 — 13^3}{27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2} \)
в) \( \frac{23^3 — 11^3}{23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2} \)
г) \( \frac{87^3 + 43^3}{87^2 — 87 \cdot 43 + 43^2} \)
a) \(\frac{47^3 + 33^3}{47^2 — 47 \cdot 33 + 33^2} = \frac{(47 + 33)(47^2 — 47 \cdot 33 + 33^2)}{47^2 — 47 \cdot 33 + 33^2} = 47 + 33 = 80\).
б) \(\frac{23^3 — 11^3}{23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2} = \frac{(23 — 11)(23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2)}{23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2} = 23 — 11 = 12\).
в) \(\frac{27^3 — 13^3}{27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2} = \frac{(27 — 13)(27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2)}{27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2} = 27 — 13 = 14\).
г) \(\frac{87^3 + 43^3}{87^2 — 87 \cdot 43 + 43^2} = \frac{(87 + 43)(87^2 — 87 \cdot 43 + 43^2)}{87^2 — 87 \cdot 43 + 43^2} = 87 + 43 = 130\).
в каждом пункте требуется вычислить значение числового выражения, содержащего кубы чисел. ключевой приём — применение формул сокращённого умножения:
— сумма кубов:
\[
A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2);
\]
— разность кубов:
\[
A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2).
\]
после разложения числителя на множители оказывается, что один из множителей полностью совпадает со знаменателем, и дробь сокращается до простой суммы или разности.
а)
дано выражение:
\[
\frac{47^3 + 33^3}{47^2 — 47 \cdot 33 + 33^2}.
\]
числитель — сумма кубов: \(A = 47\), \(B = 33\). применим формулу:
\[
47^3 + 33^3 = (47 + 33)(47^2 — 47 \cdot 33 + 33^2).
\]
подставим в дробь:
\[
\frac{(47 + 33)(47^2 — 47 \cdot 33 + 33^2)}{47^2 — 47 \cdot 33 + 33^2}.
\]
знаменатель не равен нулю (это положительное число), поэтому можно сократить общий множитель:
\[
= 47 + 33 = 80.
\]
б)
дано выражение:
\[
\frac{23^3 — 11^3}{23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2}.
\]
числитель — разность кубов: \(A = 23\), \(B = 11\). применим формулу:
\[
23^3 — 11^3 = (23 — 11)(23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2).
\]
подставим:
\[
\frac{(23 — 11)(23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2)}{23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2}.
\]
сокращаем общий множитель (он положителен, так как состоит из сумм квадратов и произведений):
\[
= 23 — 11 = 12.
\]
в)
дано выражение:
\[
\frac{27^3 — 13^3}{27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2}.
\]
аналогично, это разность кубов: \(A = 27\), \(B = 13\). тогда:
\[
27^3 — 13^3 = (27 — 13)(27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2).
\]
дробь:
\[
\frac{(27 — 13)(27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2)}{27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2} = 27 — 13 = 14.
\]
г)
дано выражение:
\[
\frac{87^3 + 43^3}{87^2 — 87 \cdot 43 + 43^2}.
\]
это сумма кубов: \(A = 87\), \(B = 43\). тогда:
\[
87^3 + 43^3 = (87 + 43)(87^2 — 87 \cdot 43 + 43^2).
\]
дробь:
\[
\frac{(87 + 43)(87^2 — 87 \cdot 43 + 43^2)}{87^2 — 87 \cdot 43 + 43^2} = 87 + 43 = 130.
\]
ответ:
а) \(80\)
б) \(12\)
в) \(14\)
г) \(130\)
