ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.5 Мордкович — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а) \( \frac{15a(p-q)}{20b(p-q)} \)
б) \( \frac{8a^2b^3(a+b)}{20ab^2(a+b)} \)
в) \( \frac{2b(m+n)}{6bc(m+n)} \)
г) \( \frac{44c^3d^8(c-d)}{100c^5d^4(c-d)} \)

a) \(\frac{15a(p — q)}{20b(p — q)} = \frac{3a}{4b}\).
б) \(\frac{8a^2b^3(a + b)}{20ab^2(a + b)} = \frac{2ab}{5} = 0{,}4ab\).
в) \(\frac{2b(m + n)}{6bc(m + n)} = \frac{1}{3c}\).
г) \(\frac{44c^3d^8(c — d)}{100c^5d^4(c — d)} = \frac{11d^4}{25c^2}\).

в каждом пункте требуется сократить алгебраическую дробь. для этого используется следующий подход:
— если в числителе и знаменателе присутствуют одинаковые множители (в том числе скобки вида \(p — q\), \(a + b\) и т.п.), их можно сократить при условии, что они не равны нулю;
— числовые коэффициенты сокращаются как обыкновенные дроби;
— степени одинаковых переменных упрощаются по правилу \(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\).

а)
дано выражение:
\[
\frac{15a(p — q)}{20b(p — q)}.
\]

предполагаем, что \(p \ne q\), поэтому множитель \((p — q)\) не равен нулю и может быть сокращён. после сокращения остаётся:
\[
\frac{15a}{20b}.
\]

числовые коэффициенты 15 и 20 имеют наибольший общий делитель 5. делим числитель и знаменатель на 5:
\[
\frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}.
\]

итак, окончательный результат:
\[
\frac{3a}{4b}.
\]

б)
дано выражение:
\[
\frac{8a^2b^3(a + b)}{20ab^2(a + b)}.
\]

предполагаем \(a + b \ne 0\), поэтому множитель \((a + b)\) сокращается. теперь рассмотрим остальные множители:

— числовые коэффициенты: \(\frac{8}{20} = \frac{2}{5}\) (сократили на 4);
— степени \(a\): \(\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a\);
— степени \(b\): \(\frac{b^3}{b^2} = b^{3-2} = b\).

перемножая всё, получаем:
\[
\frac{2}{5} \cdot a \cdot b = \frac{2ab}{5}.
\]

в десятичной форме \(\frac{2}{5} = 0{,}4\), поэтому допустима запись:
\[
0{,}4ab.
\]

в)
дано выражение:
\[
\frac{2b(m + n)}{6bc(m + n)}.
\]

предполагаем \(m + n \ne 0\), тогда \((m + n)\) сокращается. также сокращается множитель \(b\) (при \(b \ne 0\)). остаётся:
\[
\frac{2}{6c}.
\]

сократим числовую дробь на 2:
\[
\frac{2 \div 2}{6 \div 2} = \frac{1}{3c}.
\]

итак, результат:
\[
\frac{1}{3c}.
\]

г)
дано выражение:
\[
\frac{44c^3d^8(c — d)}{100c^5d^4(c — d)}.
\]

предполагаем \(c \ne d\), поэтому \((c — d)\) сокращается. теперь упростим остальное:

— числовые коэффициенты: \(\frac{44}{100}\). наибольший общий делитель — 4, поэтому:
\[
\frac{44 \div 4}{100 \div 4} = \frac{11}{25};
\]
— степени \(c\): \(\frac{c^3}{c^5} = c^{3-5} = c^{-2} = \frac{1}{c^2}\);
— степени \(d\): \(\frac{d^8}{d^4} = d^{8-4} = d^4\).

собираем всё вместе:
\[
\frac{11}{25} \cdot \frac{1}{c^2} \cdot d^4 = \frac{11d^4}{25c^2}.
\]

ответ:
а) \(\frac{3a}{4b}\)
б) \(\frac{2ab}{5} = 0{,}4ab\)
в) \(\frac{1}{3c}\)
г) \(\frac{11d^4}{25c^2}\)