Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 41.8 Мордкович — Подробные Ответы
а) \( \frac{(a-b)^2}{(b-a)^2} \)；
б) \( \frac{16(x-y)^2}{48(y-x)^2} \)；
в) \( \frac{12a^3 b^5 (p-q)^2}{36a^2 b(q-p)^2} \)；
г) \( \frac{49xy(c-d)^2}{7x^2(d-c)^2} \)；
a) \(\frac{(a — b)^2}{(b — a)^2} = 1\).
б) \(\frac{12a^3b^5(p — q)^2}{36a^2b(q — p)^2} = \frac{ab^4}{3}\).
в) \(\frac{16(x — y)^2}{48(y — x)^2} = \frac{1}{3}\).
г) \(\frac{49xy(c — d)^2}{7x^2(d — c)^2} = \frac{7y}{x}\).
в каждом пункте требуется упростить алгебраическую дробь, содержащую квадраты разностей вида \((a — b)^2\), \((b — a)^2\) и т.п. ключевое наблюдение:
\[
(u — v)^2 = (v — u)^2,
\]
поскольку при возведении в квадрат знак разности теряется. это позволяет заменять такие выражения друг на друга и сокращать их как одинаковые множители.
а)
дано выражение:
\[
\frac{(a — b)^2}{(b — a)^2}.
\]
заметим, что \(b — a = -(a — b)\), следовательно:
\[
(b — a)^2 = (-(a — b))^2 = (-1)^2 (a — b)^2 = 1 \cdot (a — b)^2 = (a — b)^2.
\]
таким образом, числитель и знаменатель совпадают:
\[
\frac{(a — b)^2}{(a — b)^2} = 1,
\]
при условии, что \(a \ne b\) (иначе выражение не определено).
б)
дано выражение:
\[
\frac{12a^3b^5(p — q)^2}{36a^2b(q — p)^2}.
\]
сначала заметим, что \((q — p)^2 = (p — q)^2\), поэтому эти множители сокращаются полностью.
теперь упростим оставшиеся части:
— числовые коэффициенты: \(\frac{12}{36} = \frac{1}{3}\);
— степени \(a\): \(\frac{a^3}{a^2} = a^{3-2} = a\);
— степени \(b\): \(\frac{b^5}{b} = b^{5-1} = b^4\).
перемножая всё, получаем:
\[
\frac{1}{3} \cdot a \cdot b^4 = \frac{ab^4}{3}.
\]
в)
дано выражение:
\[
\frac{16(x — y)^2}{48(y — x)^2}.
\]
поскольку \((y — x)^2 = (x — y)^2\), эти множители сокращаются.
остаётся только числовая дробь:
\[
\frac{16}{48} = \frac{1}{3},
\]
после сокращения на 16.
г)
дано выражение:
\[
\frac{49xy(c — d)^2}{7x^2(d — c)^2}.
\]
заметим, что \((d — c)^2 = (c — d)^2\), поэтому квадратичные множители сокращаются.
теперь упрощаем остальное:
— числовые коэффициенты: \(\frac{49}{7} = 7\);
— степени \(x\): \(\frac{x}{x^2} = x^{1-2} = x^{-1} = \frac{1}{x}\);
— переменная \(y\) остаётся в числителе, так как в знаменателе её нет.
итак, результат:
\[
7 \cdot \frac{1}{x} \cdot y = \frac{7y}{x}.
\]
ответ:
а) \(1\)
б) \(\frac{ab^4}{3}\)
в) \(\frac{1}{3}\)
г) \(\frac{7y}{x}\)
