Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.10 Мордкович — Подробные Ответы
а) (a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²); б) (a + b)² – (a – b)² = 4ab; в) a² + b² = (a + b)² – 2ab; г) (a + b)² – 2b(a + b) = a² – b².
а) (a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²)
a² + 2ab + b² + a² – 2ab + b² = 2a² + 2b²
2a² + 2b² = 2a² + 2b².
б) (a + b)² – (a – b)² = 4ab
a² + 2ab + b² – a² + 2ab – b² = 4ab
4ab = 4ab.
в) a² + b² = (a + b)² – 2ab
a² + b² = a² + 2ab + b² – 2ab
a² + b² = a² + b².
г) (a + b)² – 2b(a + b) = a² – b²
a² + 2ab + b² – 2ab – 2b² = a² – b²
a² – b² = a² – b².
а)
\((a + b)^2 + (a — b)^2 = 2(a^2 + b^2)\)
Начнём с левой части. Воспользуемся известными формулами квадрата суммы и квадрата разности:
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \quad (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2.
\]
Сложим эти два выражения:
\[
(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 — 2ab + b^2).
\]
Теперь объединим подобные члены:
— \(a^2 + a^2 = 2a^2\),
— \(2ab — 2ab = 0\) — средние члены взаимно уничтожаются,
— \(b^2 + b^2 = 2b^2\).
Получаем:
\[
2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2),
\]
что в точности совпадает с правой частью.
Это тождество показывает, что сумма квадратов суммы и разности двух чисел всегда равна удвоенной сумме их квадратов.
б)
\((a + b)^2 — (a — b)^2 = 4ab\)
Снова запишем оба квадрата:
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \quad (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2.
\]
Вычтем второе из первого:
\[
(a^2 + 2ab + b^2) — (a^2 — 2ab + b^2).
\]
Раскроем скобки, не забывая, что минус перед скобкой меняет знаки всех её членов:
\[
a^2 + 2ab + b^2 — a^2 + 2ab — b^2.
\]
Теперь упростим:
— \(a^2 — a^2 = 0\),
— \(b^2 — b^2 = 0\),
— \(2ab + 2ab = 4ab\).
Итог:
\[
4ab,
\]
что совпадает с правой частью.
Это тождество часто используется для быстрого вычисления произведения двух чисел через их сумму и разность.
в)
\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 — 2ab\)
Рассмотрим правую часть. Раскроем квадрат суммы:
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
\]
Теперь вычтем \(2ab\):
\[
a^2 + 2ab + b^2 — 2ab = a^2 + b^2,
\]
поскольку \(2ab — 2ab = 0\).
Получили левую часть. Таким образом, равенство верно.
Эта формула позволяет выразить сумму квадратов через квадрат суммы и удвоенное произведение — полезный приём при решении уравнений и упрощении выражений.
г)
\((a + b)^2 — 2b(a + b) = a^2 — b^2\)
Упростим левую часть по частям. Сначала раскроем квадрат:
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
\]
Затем раскроем второе слагаемое, применив распределительное свойство:
\[
2b(a + b) = 2ab + 2b^2.
\]
Теперь подставим оба результата в исходное выражение:
\[
(a^2 + 2ab + b^2) — (2ab + 2b^2).
\]
Раскроем скобки (минус меняет знаки):
\[
a^2 + 2ab + b^2 — 2ab — 2b^2.
\]
Приведём подобные:
— \(2ab — 2ab = 0\),
— \(b^2 — 2b^2 = -b^2\),
— остаётся \(a^2 — b^2\).
Именно это и записано в правой части.
Интересно, что результат совпадает с формулой разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), хотя в исходном выражении она не была явно видна.
