ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.12 Мордкович — Подробные Ответы

Установите, является ли данное равенство тождеством, и если да, то укажите допустимые значения переменных:

а) \(\frac{x^4 — 4x^2}{x^2 — 2x} = x^2 + 2x\);

б) \(\frac{3x^5 — 24x^2}{6x^5 — 12x^4} = \frac{x^2 + 2x + 4}{2x^2}\);

в) \(\frac{2a^3 — 12a^2 + 18a}{4a^4 — 36a^2} = \frac{a — 3}{2a^2 + 6a}\);

г) \(\frac{a^6b^2 — 27a^3b^2}{2a^3b^3 — 6a^2b^3} = \frac{a^3 + 3a^2 + 9a}{2b}\).

а) \(\frac{x^4 — 4x^2}{x^2 — 2x} = x^2 + 2x\)

\(\frac{x^2(x^2 — 4)}{x(x — 2)} = x^2 + 2x\)

\(\frac{x(x — 2)(x + 2)}{(x — 2)} = x^2 + 2x\)

\(x(x + 2) = x^2 + 2x\)

\(x^2 + 2x = x^2 + 2x\)

\(x \ne 0,\quad x \ne 2.\)

б) \(\frac{3x^5 — 24x^2}{6x^5 — 12x^4} = \frac{x^2 + 2x + 4}{2x^2}\)

\(\frac{3x^2(x^3 — 8)}{6x^4(x — 2)} = \frac{x^2 + 2x + 4}{2x^2}\)

\(\frac{3x^2(x — 2)(x^2 + 2x + 4)}{6x^4(x — 2)} = \frac{x^2 + 2x + 4}{2x^2}\)

\(\frac{x^2 + 2x + 4}{2x^2} = \frac{x^2 + 2x + 4}{2x^2}\)

\(x \ne 0,\quad x \ne 2.\)

в) \(\frac{2a^3 — 12a^2 + 18a}{4a^4 — 36a^2} = \frac{a — 3}{2a^2 + 6a}\)

\(\frac{2a(a^2 — 6a + 9)}{4a^2(a^2 — 9)} = \frac{a — 3}{2a^2 + 6a}\)

\(\frac{2a(a — 3)^2}{4a^2(a — 3)(a + 3)} = \frac{a — 3}{2a^2 + 6a}\)

\(\frac{a — 3}{2a(a + 3)} = \frac{a — 3}{2a^2 + 6a}\)

\(\frac{a — 3}{2a(a + 3)} = \frac{a — 3}{2a(a + 3)}\)

\(a \ne 0,\quad a \ne \pm 3.\)

г) \(\frac{a^6b^2 — 27a^3b^2}{2a^3b^3 — 6a^2b^3} = \frac{a^3 + 3a^2 + 9a}{2b}\)

\(\frac{a^3b^2(a^3 — 27)}{2a^2b^3(a — 3)} = \frac{a^3 + 3a^2 + 9a}{2b}\)

\(\frac{a(a — 3)(a^2 + 3a + 9)}{2b(a — 3)} = \frac{a^3 + 3a^2 + 9a}{2b}\)

\(\frac{a^3 + 3a^2 + 9a}{2b} = \frac{a^3 + 3a^2 + 9a}{2b}.\)

\(b \ne 0,\quad a \ne 0,\quad a \ne 3.\)

а)
\[
\frac{x^4 — 4x^2}{x^2 — 2x} = x^2 + 2x
\]

Шаг 1. Анализ исходного выражения.
Перед упрощением важно понять, при каких значениях переменной выражение имеет смысл. Знаменатель не должен обращаться в ноль:

\[
x^2 — 2x \ne 0 \quad \Rightarrow \quad x(x — 2) \ne 0 \quad \Rightarrow \quad x \ne 0,\ x \ne 2.
\]

Это — область допустимых значений (ОДЗ).

Шаг 2. Вынесение общих множителей.
В числителе: \(x^4 — 4x^2 = x^2(x^2 — 4)\) — вынесли \(x^2\) как общий множитель.
В знаменателе: \(x^2 — 2x = x(x — 2)\) — вынесли \(x\).

Теперь дробь принимает вид:
\[
\frac{x^2(x^2 — 4)}{x(x — 2)}.
\]

Шаг 3. Применение формулы разности квадратов.
Выражение \(x^2 — 4\) — это разность квадратов: \(x^2 — 2^2 = (x — 2)(x + 2)\).
Подставляем:
\[
\frac{x^2(x — 2)(x + 2)}{x(x — 2)}.
\]

Шаг 4. Раскрытие скобок.
Умножаем: \(x(x + 2) = x^2 + 2x\).

Шаг 5. Проверка.
Правая часть исходного равенства — тоже \(x^2 + 2x\).
Следовательно, после упрощения левая часть совпадает с правой.

Равенство верно при всех \(x\), удовлетворяющих ОДЗ: \(x \ne 0,\ x \ne 2\).

б)
\[
\frac{3x^5 — 24x^2}{6x^5 — 12x^4} = \frac{x^2 + 2x + 4}{2x^2}
\]

Шаг 1. ОДЗ.
Знаменатель: \(6x^5 — 12x^4 = 6x^4(x — 2) \ne 0\).
Отсюда: \(x \ne 0\) и \(x \ne 2\).

Шаг 2. Вынесение общих множителей.
Числитель: \(3x^5 — 24x^2 = 3x^2(x^3 — 8)\).
Знаменатель: \(6x^5 — 12x^4 = 6x^4(x — 2)\).

Шаг 3. Формула разности кубов.
\(x^3 — 8 = x^3 — 2^3 = (x — 2)(x^2 + 2x + 4)\).

Подставляем:
\[
\frac{3x^2(x — 2)(x^2 + 2x + 4)}{6x^4(x — 2)}.
\]

Шаг 4. Сокращение.
Сокращаем:
— числовой коэффициент: \(3:6 = 1:2\),
— \(x^2 : x^4 = 1 : x^2\),
— \((x — 2)\) — сокращается (так как \(x \ne 2\)).

Получаем:
\[
\frac{x^2 + 2x + 4}{2x^2}.
\]

Шаг 5. Сравнение.
Это в точности совпадает с правой частью исходного равенства.

Равенство тождественно верно при \(x \ne 0,\ x \ne 2\).

в)
\[
\frac{2a^3 — 12a^2 + 18a}{4a^4 — 36a^2} = \frac{a — 3}{2a^2 + 6a}
\]

Шаг 1. ОДЗ.
Знаменатель: \(4a^4 — 36a^2 = 4a^2(a^2 — 9) = 4a^2(a — 3)(a + 3) \ne 0\).
Следовательно: \(a \ne 0,\ a \ne 3,\ a \ne -3\).

Шаг 2. Разложение числителя.
Выносим общий множитель \(2a\):
\(2a^3 — 12a^2 + 18a = 2a(a^2 — 6a + 9)\).
Квадратный трёхчлен — полный квадрат: \(a^2 — 6a + 9 = (a — 3)^2\).
Итого: числитель = \(2a(a — 3)^2\).

Шаг 3. Разложение знаменателя.
\(4a^4 — 36a^2 = 4a^2(a^2 — 9) = 4a^2(a — 3)(a + 3)\) — разность квадратов.

Шаг 4. Подстановка и сокращение.
\[
\frac{2a(a — 3)^2}{4a^2(a — 3)(a + 3)} = \frac{2a(a — 3)(a — 3)}{4a \cdot a (a — 3)(a + 3)}.
\]

Сокращаем:
— \(2 : 4 = 1/2\),
— \(a : a = 1\),
— один множитель \((a — 3)\).

Остаётся:
\[
\frac{a — 3}{2a(a + 3)}.
\]

Шаг 5. Упрощение правой части.
В условии правая часть: \(\frac{a — 3}{2a^2 + 6a}\).
Вынесем \(2a\) из знаменателя: \(2a^2 + 6a = 2a(a + 3)\).
То есть правая часть = \(\frac{a — 3}{2a(a + 3)}\).

Шаг 6. Сравнение.
Обе части совпадают.

Равенство верно при \(a \ne 0,\ a \ne \pm 3\).

г)
\[
\frac{a^6b^2 — 27a^3b^2}{2a^3b^3 — 6a^2b^3} = \frac{a^3 + 3a^2 + 9a}{2b}
\]

Шаг 1. ОДЗ.
Знаменатель: \(2a^3b^3 — 6a^2b^3 = 2a^2b^3(a — 3) \ne 0\).
Следовательно: \(a \ne 0,\ b \ne 0,\ a \ne 3\).

Шаг 2. Вынесение общих множителей.
Числитель: \(a^6b^2 — 27a^3b^2 = a^3b^2(a^3 — 27)\).
Знаменатель: \(2a^3b^3 — 6a^2b^3 = 2a^2b^3(a — 3)\).

Шаг 3. Формула разности кубов.
\(a^3 — 27 = a^3 — 3^3 = (a — 3)(a^2 + 3a + 9)\).

Подставляем:
\[
\frac{a^3b^2(a — 3)(a^2 + 3a + 9)}{2a^2b^3(a — 3)}.
\]

Шаг 4. Сокращение.
Сокращаем:
— \(a^3 : a^2 = a\),
— \(b^2 : b^3 = 1 : b\),
— \((a — 3)\) — сокращается (так как \(a \ne 3\)).

Остаётся:
\[
\frac{a(a^2 + 3a + 9)}{2b} = \frac{a^3 + 3a^2 + 9a}{2b}.
\]

Шаг 5. Сравнение.
Это в точности совпадает с правой частью.

Равенство тождественно верно при \(a \ne 0,\ b \ne 0,\ a \ne 3\).