ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.13 Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) \(\frac{27 — m^3}{m^2 + 3m + 9} = \frac{9 — m^2}{3 + m}\);

б) \(\frac{x^2 + 2xy + 4y^2}{x^3 — 8y^3} = -\frac{2y — x}{x^2 — 4x + 4y^2}\);

в) \(\frac{5 — p}{p^2 — 25} = -\frac{p^2 — 5p + 25}{p^3 + 125}\);

г) \(\frac{9a^2 + 6ab + b^2}{3a + b} = \frac{27a^3 + b^3}{9a^2 — 3ab + b^2}\).

а) \(\frac{27 — m^3}{m^2 + 3m + 9} = \frac{9 — m^2}{3 + m}\)

\(\frac{(3 — m)(9 + 3m + m^2)}{m^2 + 3m + 9} = \frac{(3 — m)(3 + m)}{3 + m}\)

\(3 — m = 3 — m.\)

б) \(\frac{x^2 + 2xy + 4y^2}{x^3 — 8y^3} = -\frac{2y — x}{x^2 — 4x + 4y^2}\)

\(\frac{x^2 + 2xy + 4y^2}{(x — 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)} = -\frac{2y — x}{(x — 2y)^2}\)

\(\frac{1}{x — 2y} = \frac{1}{x — 2y}.\)

в) \(\frac{5 — p}{p^2 — 25} = -\frac{p^2 — 5p + 25}{p^3 + 125}\)

\(\frac{-(p — 5)}{(p — 5)(p + 5)} = -\frac{p^2 — 5p + 25}{(p + 5)(p^2 — 5p + 25)}\)

\(-\frac{1}{p + 5} = -\frac{1}{p + 5}.\)

г) \(\frac{9a^2 + 6ab + b^2}{3a + b} = \frac{27a^3 + b^3}{9a^2 — 3ab + b^2}\)

\(\frac{(3a + b)^2}{3a + b} = \frac{(3a + b)(9a^2 — 3ab + b^2)}{9a^2 — 3ab + b^2}\)

\(3a + b = 3a + b.\)

а)
\[
\frac{27 — m^3}{m^2 + 3m + 9} = \frac{9 — m^2}{3 + m}
\]

Шаг 1. Анализ левой части.
Числитель \(27 — m^3\) — это разность кубов, так как \(27 = 3^3\).
Формула: \(A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2)\).
Применяя её:
\[
27 — m^3 = 3^3 — m^3 = (3 — m)(3^2 + 3m + m^2) =
\]

\[
= (3 — m)(9 + 3m + m^2).
\]

Знаменатель левой части: \(m^2 + 3m + 9\) — в точности совпадает со вторым множителем в числителе.
Следовательно, дробь упрощается:
\[
\frac{(3 — m)(m^2 + 3m + 9)}{m^2 + 3m + 9} = 3 — m,
\]

при условии, что \(m^2 + 3m + 9 \ne 0\). Но этот квадратный трёхчлен не имеет действительных корней (дискриминант \(9 — 36 = -27 < 0\)), поэтому знаменатель никогда не обращается в ноль — ограничений отсюда нет.

Шаг 2. Анализ правой части.
Числитель \(9 — m^2\) — разность квадратов: \(3^2 — m^2 = (3 — m)(3 + m)\).
Знаменатель — \(3 + m\).
Таким образом:
\[
\frac{(3 — m)(3 + m)}{3 + m} = 3 — m,
\]

при условии \(3 + m \ne 0\), то есть \(m \ne -3\).

Шаг 3. Сравнение.
Обе части после упрощения равны \(3 — m\).
Следовательно, исходное равенство — тождество, верное при всех \(m \ne -3\).

Проверка завершена.

б)
\[
\frac{x^2 + 2xy + 4y^2}{x^3 — 8y^3} = -\frac{2y — x}{x^2 — 4x + 4y^2}
\]

Шаг 1. Левая часть: знаменатель.
\(x^3 — 8y^3 = x^3 — (2y)^3\) — разность кубов:
\[
x^3 — (2y)^3 = (x — 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2).
\]

Числитель левой части — в точности второй множитель: \(x^2 + 2xy + 4y^2\).
Поэтому:
\[
\frac{x^2 + 2xy + 4y^2}{(x — 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)} = \frac{1}{x — 2y},
\]

при условии \(x^2 + 2xy + 4y^2 \ne 0\) и \(x \ne 2y\). Первое выражение положительно при любых действительных \(x, y\), не равных нулю одновременно, так что главное ограничение — \(x \ne 2y\).

Шаг 2. Правая часть.
Рассмотрим числитель: \(-(2y — x) = x — 2y\).
Знаменатель: \(x^2 — 4x + 4y^2\).
Однако здесь, скорее всего, опечатка в оригинале. Правильный знаменатель должен быть \((x — 2y)^2 = x^2 — 4xy + 4y^2\), а не \(x^2 — 4x + 4y^2\) (пропущено \(y\) у среднего члена).

Предположим, что имелось в виду:
\[
-\frac{2y — x}{(x — 2y)^2}.
\]

Тогда:
\[
-(2y — x) = x — 2y,
\]

и

\[
\frac{x — 2y}{(x — 2y)^2} = \frac{1}{x — 2y},
\]

что совпадает с левой частью.

Шаг 3. Вывод.
При корректной записи знаменателя как \((x — 2y)^2\) равенство верно.
Исходное изображение, вероятно, содержит опечатку: вместо \(x^2 — 4x + 4y^2\) должно быть \(x^2 — 4xy + 4y^2\).

При исправлении опечатки — тождество верно при \(x \ne 2y\).

в)
\[
\frac{5 — p}{p^2 — 25} = -\frac{p^2 — 5p + 25}{p^3 + 125}
\]

Шаг 1. Левая часть.
Числитель: \(5 — p = -(p — 5)\).
Знаменатель: \(p^2 — 25 = p^2 — 5^2 = (p — 5)(p + 5)\) — разность квадратов.
Тогда:
\[
\frac{-(p — 5)}{(p — 5)(p + 5)} = -\frac{1}{p + 5},
\]

при \(p \ne 5\) и \(p \ne -5\).

Шаг 2. Правая часть.
Знаменатель: \(p^3 + 125 = p^3 + 5^3\) — сумма кубов:
\[
p^3 + 5^3 = (p + 5)(p^2 — 5p + 25).
\]

Числитель — в точности второй множитель. Поэтому:
\[
-\frac{p^2 — 5p + 25}{(p + 5)(p^2 — 5p + 25)} = -\frac{1}{p + 5},
\]

при \(p \ne -5\) и \(p^2 — 5p + 25 \ne 0\) (последнее всегда верно для действительных \(p\), так как дискриминант отрицателен).

Шаг 3. Сравнение.
Обе части равны \(-\frac{1}{p + 5}\).

Равенство — тождество при \(p \ne \pm 5\).

г)
\[
\frac{9a^2 + 6ab + b^2}{3a + b} = \frac{27a^3 + b^3}{9a^2 — 3ab + b^2}
\]

Шаг 1. Левая часть.
Числитель: \(9a^2 + 6ab + b^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot b + b^2 = (3a + b)^2\) — полный квадрат.
Знаменатель: \(3a + b\).
Сокращаем:
\[
\frac{(3a + b)^2}{3a + b} = 3a + b,
\]

при \(3a + b \ne 0\).

Шаг 2. Правая часть.
Числитель: \(27a^3 + b^3 = (3a)^3 + b^3\) — сумма кубов:
\[
(3a)^3 + b^3 = (3a + b)\big((3a)^2 — 3a \cdot b + b^2\big) = (3a + b)(9a^2 — 3ab + b^2).
\]

Знаменатель — в точности второй множитель. Поэтому:
\[
\frac{(3a + b)(9a^2 — 3ab + b^2)}{9a^2 — 3ab + b^2} = 3a + b,
\]

при \(9a^2 — 3ab + b^2 \ne 0\) (это выражение положительно при любых \(a, b\), не равных нулю одновременно).

Шаг 3. Сравнение.
Обе части равны \(3a + b\).

Равенство — тождество при \(3a + b \ne 0\).