Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.14 Мордкович — Подробные Ответы
Докажите тождество:
а) (х + у)(х — у) + (у + а)(у — а) = (х — а)(х + а);
б) (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab;
в) (а — b)(а + b) — (а — с)(а + с) — (с — b)(с + b) = 0;
г) (m – a)(m – b) = m² – (a + b)m + ab.
а) (x + y)(x – y) + (y + a)(y – a) = (x – a)(x + a)
x² – y² + y² – a² = x² – a²
x² – a² = x² – a².
б) (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
x² + bx + ax + ab = x² + ax + bx + ab.
в) (a – b)(a + b) – (a – c)(a + c) – (c – b)(c + b) = 0
a² – b² – a² + c² – c² + b² = 0
0 = 0.
г) (m – a)(m – b) = m² – (a + b)m + ab
m² – bm – am + ab = m² – am – bm + ab.
а)
\((x + y)(x — y) + (y + a)(y — a) = (x — a)(x + a)\)
Шаг 1. Упростим левую часть.
Оба произведения — это разности квадратов:
\[
(x + y)(x — y) = x^2 — y^2, \quad (y + a)(y — a) = y^2 — a^2.
\]
Сложим их:
\[
(x^2 — y^2) + (y^2 — a^2) = x^2 — y^2 + y^2 — a^2.
\]
Заметим, что \(-y^2 + y^2 = 0\), поэтому остаётся:
\[
x^2 — a^2.
\]
Шаг 2. Упростим правую часть.
Это также разность квадратов:
\[
(x — a)(x + a) = x^2 — a^2.
\]
Шаг 3. Сравнение.
Левая часть: \(x^2 — a^2\)
Правая часть: \(x^2 — a^2\)
Равенство верно для любых значений \(x, y, a\). Это тождество демонстрирует, что среднее слагаемое \(y\) «исчезает» при сложении двух разностей квадратов.
б)
\((x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab\)
Шаг 1. Раскроем скобки в левой части.
Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго:
\[
(x + a)(x + b) = x \cdot x + x \cdot b + a \cdot x + a \cdot b = x^2 + bx + ax + ab.
\]
Шаг 2. Перегруппируем слагаемые.
Сложение коммутативно, поэтому можно записать:
\[
x^2 + ax + bx + ab.
\]
Вынесем \(x\) из средних членов:
\[
x^2 + (a + b)x + ab,
\]
что в точности совпадает с правой частью.
Шаг 3. Вывод.
Это стандартная формула умножения двух двучленов с одинаковым первым членом. Она часто используется при разложении квадратных трёхчленов на множители.
в)
\((a — b)(a + b) — (a — c)(a + c) — (c — b)(c + b) = 0\)
Шаг 1. Преобразуем каждое произведение.
Все три — разности квадратов:
\[
(a — b)(a + b) = a^2 — b^2, \\
(a — c)(a + c) = a^2 — c^2, \\
(c — b)(c + b) = c^2 — b^2.
\]
Подставим в исходное выражение:
\[
(a^2 — b^2) — (a^2 — c^2) — (c^2 — b^2).
\]
Шаг 2. Раскроем скобки, учитывая знаки.
Минус перед скобкой меняет все знаки внутри:
\[
a^2 — b^2 — a^2 + c^2 — c^2 + b^2.
\]
Шаг 3. Приведём подобные члены.
— \(a^2 — a^2 = 0\),
— \(-b^2 + b^2 = 0\),
— \(c^2 — c^2 = 0\).
Остаётся:
\[
0.
\]
Шаг 4. Вывод.
Равенство тождественно верно. Это интересный пример того, как три разности квадратов могут взаимно компенсировать друг друга.
г)
\((m — a)(m — b) = m^2 — (a + b)m + ab\)
Шаг 1. Раскроем скобки в левой части.
Умножаем:
\[
(m — a)(m — b) = m \cdot m — m \cdot b — a \cdot m + a \cdot b = m^2 — bm — am + ab.
\]
Шаг 2. Перегруппируем члены.
Поскольку сложение коммутативно:
\[
m^2 — am — bm + ab.
\]
Вынесем \(m\) из средних членов:
\[
m^2 — (a + b)m + ab,
\]
что совпадает с правой частью.
Шаг 3. Вывод.
Это аналог формулы из пункта (б), но для разности. Такое разложение часто применяется при решении квадратных уравнений и упрощении выражений.
