ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.17 Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество: а) (2а — b)(2а + b) + (b- с)(b + с) + (b — 2а)(с + 2а) = 0; б) (3x + y)² – (3x – y)² = (3xy + 1)² – (3xy – 1)²; в) (х — 3у)(х + 3у) + (3у — с)(3у + с) + (с — x)(с + х) = 0; г) (a – b)(a + b)((a – b)² + (a + b)²) = 2(a⁴ – b⁴).

а) (2a – b)(2a + b) + (b – c)(b + c) + (c – 2a)(c + 2a) = 0
4a² – b² + b² – c² + c² – 4a² = 0
0 = 0.

б) (3x + y)² – (3x – y)² = (3xy + 1)² – (3xy – 1)²
9x² + 6xy + y² – 9x² + 6xy – y² = 9x²y² + 6xy + 1 – 9x²y² + 6xy – 1
12xy = 12xy.

в) (x – 3y)(x + 3y) + (3y – c)(3y + c) + (c – x)(c + x) = 0
x² – 9y² + 9y² – c² + c² – x² = 0
0 = 0.

г) (a – b)(a + b)((a – b)² + (a + b)²) = 2(a⁴ – b⁴)
(a² – b²)(a² – 2ab + b² + a² + 2ab + b²) = 2(a⁴ – b⁴)
(a² – b²)(2a² + 2b²) = 2(a⁴ – b⁴)
2(a² – b²)(a² + b²) = 2(a⁴ – b⁴)
2(a⁴ – b⁴) = 2(a⁴ – b⁴).

а)
\[
(2a — b)(2a + b) + (b — c)(b + c) + (c — 2a)(c + 2a) = 0
\]

Шаг 1. Применим формулу разности квадратов к каждому произведению:
\[
(u — v)(u + v) = u^2 — v^2.
\]

— Первое: \((2a — b)(2a + b) = (2a)^2 — b^2 = 4a^2 — b^2\),
— Второе: \((b — c)(b + c) = b^2 — c^2\),
— Третье: \((c — 2a)(c + 2a) = c^2 — (2a)^2 = c^2 — 4a^2\).

Шаг 2. Сложим все три результата:
\[
(4a^2 — b^2) + (b^2 — c^2) + (c^2 — 4a^2).
\]

Шаг 3. Приведём подобные члены:
— \(4a^2 — 4a^2 = 0\),
— \(-b^2 + b^2 = 0\),
— \(-c^2 + c^2 = 0\).

Всё сокращается, остаётся:
\[
0.
\]

Равенство — тождество, верное при любых \(a, b, c\). Это пример циклической симметрии: каждая переменная входит дважды — один раз со знаком «плюс», другой — со знаком «минус».

б)
\[
(3x + y)^2 — (3x — y)^2 = (3xy + 1)^2 — (3xy — 1)^2
\]

Шаг 1. Воспользуемся формулой разности квадратов в виде:
\[
A^2 — B^2 = (A — B)(A + B),
\]

или раскроем напрямую.

Левая часть:
\[
(3x + y)^2 = 9x^2 + 6xy + y^2, \quad (3x — y)^2 = 9x^2 — 6xy + y^2.
\]

Вычитаем:
\[
(9x^2 + 6xy + y^2) — (9x^2 — 6xy + y^2) = 12xy.
\]

Правая часть:
\[
(3xy + 1)^2 = 9x^2y^2 + 6xy + 1, \quad (3xy — 1)^2 = 9x^2y^2 — 6xy + 1.
\]

Вычитаем:
\[
(9x^2y^2 + 6xy + 1) — (9x^2y^2 — 6xy + 1) = 12xy.
\]

Шаг 2. Сравнение:
Обе части равны \(12xy\).

Тождество верно для любых \(x, y\). Интересно, что структура обеих сторон одинакова: разность квадратов выражений вида \((U + V)^2 — (U — V)^2 = 4UV\), но здесь коэффициенты дают \(12xy\) в обоих случаях.

в)
\[
(x — 3y)(x + 3y) + (3y — c)(3y + c) + (c — x)(c + x) = 0
\]

Шаг 1. Применяем разность квадратов:
— \((x — 3y)(x + 3y) = x^2 — (3y)^2 = x^2 — 9y^2\),
— \((3y — c)(3y + c) = (3y)^2 — c^2 = 9y^2 — c^2\),
— \((c — x)(c + x) = c^2 — x^2\).

Шаг 2. Складываем:
\[
(x^2 — 9y^2) + (9y^2 — c^2) + (c^2 — x^2).
\]

Шаг 3. Приводим подобные:
— \(x^2 — x^2 = 0\),
— \(-9y^2 + 9y^2 = 0\),
— \(-c^2 + c^2 = 0\).

Результат:
\[
0.
\]

Это тождество аналогично пункту (а), но с коэффициентом 3 у \(y\). Опять наблюдается полная компенсация благодаря циклической структуре.

г)
\[
(a — b)(a + b)\big((a — b)^2 + (a + b)^2\big) = 2(a^4 — b^4)
\]

Шаг 1. Упростим первый множитель:
\[
(a — b)(a + b) = a^2 — b^2.
\]

Шаг 2. Упростим выражение в скобках:
Раскроем квадраты:
\[
(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2, \quad (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
\]

Сложим:
\[
(a^2 — 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2).
\]

Шаг 3. Перемножим результаты:
\[
(a^2 — b^2) \cdot 2(a^2 + b^2) = 2(a^2 — b^2)(a^2 + b^2).
\]

Шаг 4. Применим разность квадратов ещё раз:
\[
(a^2 — b^2)(a^2 + b^2) = a^4 — b^4.
\]

Следовательно:
\[
2(a^4 — b^4).
\]

Шаг 5. Сравнение:
Правая часть исходного равенства — тоже \(2(a^4 — b^4)\).

Тождество доказано. Этот пример показывает, как комбинация квадратов суммы и разности может быть связана с разностью четвёртых степеней.