Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.18 Мордкович — Подробные Ответы
a) \((a — 1)^3 — 4(a — 1) = (a — 1)(a + 1)(a — 3)\);
б) \((x^2 + 1)^2 — 4x^2 = (x — 1)^2(x + 1)^2\);
в) \((a + 1)^3 — (a + 1) = a(a + 1)(a + 2)\);
г) \(4b^2c^2 — (b^2 + c^2 — a^2)^2 = (a + b + c)(a — b + c)(a + b — c)(b + c — a)\).
а) \((a — 1)^3 — 4(a — 1) = (a — 1)(a + 1)(a — 3)\)
\((a — 1)(a — 1)^2 — 4a + 4 = (a^2 — 1)(a — 3)\)
\((a — 1)(a^2 — 2a + 1) — 4a + 4 = a^3 — 3a^2 — a + 3\)
\(a^3 — 2a^2 + a — a^2 + 2a — 1 — 4a + 4 = a^3 — 3a^2 — a + 3\)
\(a^3 — 3a^2 — a + 3 = a^3 — 3a^2 — a + 3.\)
б) \((x^2 + 1)^2 — 4x^2 = (x — 1)^2(x + 1)^2\)
\(x^4 + 2x^2 + 1 — 4x^2 = (x — 1)(x + 1)(x — 1)(x + 1)\)
\(x^4 — 2x^2 + 1 = (x^2 — 1)(x^2 — 1)\)
\((x^2 — 1)^2 = (x^2 — 1)^2.\)
в) \((a + 1)^3 — (a + 1) = a(a + 1)(a + 2)\)
\((a + 1)\big((a + 1)^2 — 1\big) = a(a^2 + 2a + a + 2)\)
\((a + 1)(a^2 + 2a + 1 — 1) = a^3 + 3a^2 + 2a\)
\((a + 1)(a^2 + 2a) = a^3 + 3a^2 + 2a\)
\(a^3 + 2a^2 + a^2 + 2a = a^3 + 3a^2 + 2a\)
\(a^3 + 3a^2 + 2a = a^3 + 3a^2 + 2a.\)
г) \(4b^2c^2 — (b^2 + c^2 — a^2)^2 = (a + b + c)(a — b + c)(a + b — c)(b + c — a)\)
\(\big(2bc — (b^2 + c^2 — a^2)\big)\big(2bc + (b^2 + c^2 — a^2)\big) =\)
\(= (a + b + c)(a — b + c)(a + b — c)(b + c — a)\)
\(\big(2bc — b^2 — c^2 + a^2\big)\big(2bc + b^2 + c^2 — a^2\big) =\)
\(= (a + b + c)(a — b + c)(a + b — c)(b + c — a)\)
\(\big(a^2 — (b — c)^2\big)\big((b + c)^2 — a^2\big) =\)
\(= (a + b + c)(a — b + c)(a + b — c)(b + c — a)\)
\((a — b + c)(a + b — c)(b + c — a)(a + b + c) =\)
\(= (a — b + c)(a + b — c)(b + c — a)(a + b + c).\)
а)
\[
(a — 1)^3 — 4(a — 1) = (a — 1)(a + 1)(a — 3)
\]
Шаг 1. Вынесение общего множителя.
Обе части содержат множитель \((a — 1)\). В левой части его можно вынести:
\[
(a — 1)^3 — 4(a — 1) = (a — 1)\big[(a — 1)^2 — 4\big].
\]
Шаг 2. Упрощение в скобках.
Выражение \((a — 1)^2 — 4\) — это разность квадратов, так как \(4 = 2^2\):
\[
(a — 1)^2 — 2^2 = \big[(a — 1) — 2\big]\big[(a — 1) + 2\big] = (a — 3)(a + 1).
\]
Шаг 3. Подстановка обратно:
\[
(a — 1)(a — 3)(a + 1),
\]
что совпадает с правой частью (порядок множителей не важен).
Альтернативный путь (как в оригинале):
Раскрываем \((a — 1)^3 = a^3 — 3a^2 + 3a — 1\), затем вычитаем \(4a — 4\):
\[
a^3 — 3a^2 + 3a — 1 — 4a + 4 = a^3 — 3a^2 — a + 3.
\]
Правая часть:
\[
(a — 1)(a + 1)(a — 3) = (a^2 — 1)(a — 3) = a^3 — 3a^2 — a + 3.
\]
Обе части совпадают.
Тождество доказано.
б)
\[
(x^2 + 1)^2 — 4x^2 = (x — 1)^2(x + 1)^2
\]
Шаг 1. Левая часть — разность квадратов.
Заметим, что:
\[
(x^2 + 1)^2 — (2x)^2 = \big[(x^2 + 1) — 2x\big]
\]
\[
\big[(x^2 + 1) + 2x\big] = (x^2 — 2x + 1)(x^2 + 2x + 1).
\]
Шаг 2. Распознавание полных квадратов:
— \(x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2\),
— \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\).
Следовательно:
\[
(x — 1)^2(x + 1)^2,
\]
что совпадает с правой частью.
Проверка через раскрытие:
Левая часть:
\[
(x^2 + 1)^2 — 4x^2 = x^4 + 2x^2 + 1 — 4x^2 = x^4 — 2x^2 + 1 = (x^2 — 1)^2.
\]
Правая часть:
\[
[(x — 1)(x + 1)]^2 = (x^2 — 1)^2.
\]
Равенство верно для любых \(x\).
в)
\[
(a + 1)^3 — (a + 1) = a(a + 1)(a + 2)
\]
Шаг 1. Вынесение общего множителя \((a + 1)\):
\[
(a + 1)\big[(a + 1)^2 — 1\big].
\]
Шаг 2. Упрощение в скобках — разность квадратов:
\[
(a + 1)^2 — 1^2 = (a + 1 — 1)(a + 1 + 1) = a(a + 2).
\]
Шаг 3. Итог:
\[
(a + 1) \cdot a \cdot (a + 2) = a(a + 1)(a + 2),
\]
что совпадает с правой частью.
Проверка через раскрытие:
Левая часть:
\[
(a + 1)^3 — (a + 1) = a^3 + 3a^2 + 3a + 1 — a — 1 = a^3 + 3a^2 + 2a.
\]
Правая часть:
\[
a(a + 1)(a + 2) = a(a^2 + 3a + 2) = a^3 + 3a^2 + 2a.
\]
Тождество подтверждено.
г)
\[
4b^2c^2 — (b^2 + c^2 — a^2)^2 = (a + b + c)(a — b + c)(a + b — c)(b + c — a)
\]
Это — алгебраическая форма формулы Герона для квадрата площади треугольника, но здесь рассматривается чисто как тождество.
Шаг 1. Левая часть — разность квадратов:
\[
[2bc]^2 — (b^2 + c^2 — a^2)^2 = \big(2bc — (b^2 + c^2 — a^2)\big)\big(2bc + (b^2 + c^2 — a^2)\big).
\]
Шаг 2. Упростим каждый множитель:
— Первый:
\(2bc — b^2 — c^2 + a^2 = a^2 — (b^2 — 2bc + c^2) = a^2 — (b — c)^2\).
— Второй:
\(2bc + b^2 + c^2 — a^2 = (b^2 + 2bc + c^2) — a^2 = (b + c)^2 — a^2\).
Шаг 3. Применим разность квадратов ещё дважды:
— \(a^2 — (b — c)^2 = (a — (b — c))(a + (b — c)) = (a — b + c)(a + b — c)\),
— \((b + c)^2 — a^2 = (b + c — a)(b + c + a) = (b + c — a)(a + b + c)\).
Шаг 4. Перемножим все четыре множителя:
\[
(a — b + c)(a + b — c)(b + c — a)(a + b + c),
\]
