Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.19 Мордкович — Подробные Ответы
а) \(\frac{x^3 + y^3}{x + y} — xy = (x — y)^2\);
б) \(\frac{a^3 — 8}{a — 2} + 2a = (a + 2)^2.\)
а) \(\frac{x^3 + y^3}{x + y} — xy = (x — y)^2\)
\(\frac{(x + y)(x^2 — xy + y^2)}{x + y} — xy = (x — y)^2\)
\(x^2 — xy + y^2 — xy = (x — y)^2\)
\(x^2 — 2xy + y^2 = (x — y)^2\)
\((x — y)^2 = (x — y)^2.\)
б) \(\frac{a^3 — 8}{a — 2} + 2a = (a + 2)^2\)
\(\frac{(a — 2)(a^2 + 2a + 4)}{a — 2} + 2a = (a + 2)^2\)
\(a^2 + 2a + 4 + 2a = (a + 2)^2\)
\(a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2\)
\((a + 2)^2 = (a + 2)^2.\)
а)
\(\frac{x^3 + y^3}{x + y} — xy = (x — y)^2\)
Рассмотрим левую часть равенства. В числителе дроби стоит сумма кубов двух выражений. Вспомним формулу суммы кубов:
\[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2).
\]
Подставим это разложение в исходное выражение:
\[
\frac{(x + y)(x^2 — xy + y^2)}{x + y} — xy.
\]
Поскольку \(x + y \ne 0\) (иначе исходная дробь не определена), можно сократить числитель и знаменатель на общий множитель \(x + y\). Получаем:
\[
x^2 — xy + y^2 — xy.
\]
Теперь объединим подобные слагаемые. Выражение содержит два одинаковых члена \(-xy\), поэтому:
\[
x^2 — xy — xy + y^2 = x^2 — 2xy + y^2.
\]
Заметим, что полученное выражение представляет собой квадрат разности:
\[
x^2 — 2xy + y^2 = (x — y)^2.
\]
Таким образом, левая часть тождественно равна правой части, и равенство верно при всех допустимых значениях переменных (то есть при \(x + y \ne 0\)).
б)
\(\frac{a^3 — 8}{a — 2} + 2a = (a + 2)^2\)
Обратим внимание, что число 8 можно записать как \(2^3\), поэтому числитель дроби — это разность кубов:
\[
a^3 — 8 = a^3 — 2^3.
\]
Применим формулу разности кубов:
\[
a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2),
\]
где \(b = 2\). Тогда:
\[
a^3 — 8 = (a — 2)(a^2 + 2a + 4).
\]
Подставим это в исходное выражение:
\[
\frac{(a — 2)(a^2 + 2a + 4)}{a — 2} + 2a.
\]
При условии \(a \ne 2\) (чтобы знаменатель не обращался в ноль), можно сократить дробь на \(a — 2\):
\[
a^2 + 2a + 4 + 2a.
\]
Теперь сложим подобные члены. Слагаемые с \(a\): \(2a + 2a = 4a\). Получаем:
\[
a^2 + 4a + 4.
\]
Это выражение является полным квадратом суммы:
\[
a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2.
\]
Следовательно, левая часть равна правой, и тождество доказано при \(a \ne 2\).
