ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.6 Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество: а) х — у = -(у — x); б) (m – n)² = (n – m)²; в) 2а — 3\(b = -(3b — 2а)\); г) (3c – 4d)² = (4d – 3c)².

а) x – y = –(y – x)
–(y – x) = –(y – x).

б) (m – n)² = (n – m)²
(m – n)² = (–(m – n))²
(m – n)² = (m – n)².

в) 2a – 3b = –(3b – 2a)
2a – 3b = 2a – 3b.

г) (3c – 4d)² = (4d – 3c)²
(3c – 4d)² = (–(3c – 4d))²
(3c – 4d)² = (3c – 4d)².

а) \(x — y = -(y — x)\)

Рассмотрим правую часть: \(-(y — x)\).
Раскроем скобки, умножив каждый член на \(-1\):
\[
-(y — x) = -y + x = x — y.
\]

Таким образом, левая и правая части совпадают.
Это равенство отражает общее свойство: разность двух чисел меняет знак при перестановке уменьшаемого и вычитаемого, то есть \(a — b = -(b — a)\).

б) \((m — n)^2 = (n — m)^2\)

Заметим, что \(n — m = -(m — n)\).
Тогда:
\[
(n — m)^2 = (-(m — n))^2.
\]

При возведении в квадрат минус исчезает, так как \((-A)^2 = A^2\). Следовательно:
\[
(-(m — n))^2 = (m — n)^2.
\]

Поэтому обе части равны.
Это демонстрирует, что квадрат разности не зависит от порядка вычитания: результат всегда неотрицателен и симметричен.

в) \(2a — 3b = -(3b — 2a)\)

Рассмотрим правую часть: \(-(3b — 2a)\).
Раскрываем скобки:
\[
-(3b — 2a) = -3b + 2a = 2a — 3b,
\]

что в точности совпадает с левой частью.
Это ещё один пример общего правила: \(A — B = -(B — A)\), применённый к выражению \(A = 2a\), \(B = 3b\).

г) \((3c — 4d)^2 = (4d — 3c)^2\)

Аналогично пункту б), заметим, что:
\[
4d — 3c = -(3c — 4d).
\]

Возведём обе части в квадрат:
\[
(4d — 3c)^2 = (-(3c — 4d))^2 = (3c — 4d)^2,
\]

поскольку квадрат устраняет знак минус.
Следовательно, равенство верно.
Это подтверждает, что квадрат любой разности инвариантен относительно перестановки её членов.