ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.8 Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество: а) a² + 7a + 10 = (a + 2)(a + 5); б) (b – 8)(b + 3) = b² – 5b – 24; в) x² – 9x + 20 = (x – 4)(x – 5); г) (c – 4)(c + 7) = c² + 3c – 28.

а) a² + 7a + 10 = (a + 2)(a + 5)
a² + 7a + 10 = a² + 5a + 2a + 10
a² + 7a + 10 = a² + 7a + 10.

б) (b – 8)(b + 3) = b² – 5b – 24
b² + 3b – 8b – 24 = b² – 5b – 24
b² – 5b – 24 = b² – 5b – 24.

в) x² – 9x + 20 = (x – 4)(x – 5)
x² – 9x + 20 = x² – 5x – 4x + 20
x² – 9x + 20 = x² – 9x + 20.

г) (c – 4)(c + 7) = c² + 3c – 28
c² + 7c – 4c – 28 = c² + 3c – 28
c² + 3c – 28 = c² + 3c – 28.

а)
\(a^2 + 7a + 10 = (a + 2)(a + 5)\)

Рассмотрим квадратный трёхчлен \(a^2 + 7a + 10\).
Чтобы разложить его на множители, ищем два числа, произведение которых равно свободному члену \(10\), а сумма — коэффициенту при \(a\), то есть \(7\).
Такими числами являются \(2\) и \(5\), поскольку:
\(2 \cdot 5 = 10\) и \(2 + 5 = 7\).

Следовательно, можно записать:
\[
a^2 + 7a + 10 = (a + 2)(a + 5).
\]

Для проверки раскроем скобки в правой части, применяя правило умножения двучленов («фонтанчик» или FOIL):
\[
(a + 2)(a + 5) = a \cdot a + a \cdot 5 + 2 \cdot
\]

\[
\cdot a + 2 \cdot 5 = a^2 + 5a + 2a + 10 = a^2 + 7a + 10.
\]

Получили исходное выражение. Равенство подтверждено.

б)
\((b — 8)(b + 3) = b^2 — 5b — 24\)

Умножим два двучлена в левой части:
\[
(b — 8)(b + 3) = b \cdot b + b \cdot 3 — 8 \cdot b — 8 \cdot 3 = b^2 + 3b — 8b — 24.
\]

Объединим подобные члены:
\[
b^2 + (3b — 8b) — 24 = b^2 — 5b — 24.
\]

Это в точности совпадает с правой частью. Таким образом, равенство верно для любого значения \(b\).

в)
\(x^2 — 9x + 20 = (x — 4)(x — 5)\)

Разложим квадратный трёхчлен на множители.
Нужны два числа, произведение которых равно \(20\), а сумма — \(-9\).
Поскольку свободный член положительный, а средний — отрицательный, оба числа должны быть отрицательными.
Подходящие числа: \(-4\) и \(-5\), так как:
\((-4) \cdot (-5) = 20\), \((-4) + (-5) = -9\).

Следовательно:
\[
x^2 — 9x + 20 = (x — 4)(x — 5).
\]

Проверим, раскрыв скобки:
\[
(x — 4)(x — 5) = x \cdot x — x \cdot 5 — 4 \cdot
\]

\[
\cdot x + 4 \cdot 5 = x^2 — 5x — 4x + 20 = x^2 — 9x + 20.
\]

Результат совпадает с исходным выражением. Равенство доказано.

г)
\((c — 4)(c + 7) = c^2 + 3c — 28\)

Выполним умножение двучленов:
\[
(c — 4)(c + 7) = c \cdot c + c \cdot 7 — 4 \cdot c — 4 \cdot 7 = c^2 + 7c — 4c — 28.
\]

Объединим подобные слагаемые:
\[
c^2 + (7c — 4c) — 28 = c^2 + 3c — 28.
\]

Это в точности совпадает с правой частью. Следовательно, равенство тождественно верно.