ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 43.6 Мордкович — Подробные Ответы

При каком наименьшем п среднее ряда из п двоек и одной пятёрки будет: а) меньше 3; б) меньше 2,5; в) меньше 2,1; г) равняться 2,01?

а) \(\frac{2n + 5}{n + 1} < 3\)

\(2n + 5 < 3n + 3\) → \(n > 2\) → наименьшее \(n = 3\).

б) \(\frac{2n + 5}{n + 1} < 2{,}5\)
\(2n + 5 < 2{,}5n + 2{,}5\) → \(0{,}5n > 2{,}5\) → \(n > 5\) → наименьшее \(n = 6\).

в) \(\frac{2n + 5}{n + 1} < 2{,}1\)
\(2n + 5 < 2{,}1n + 2{,}1\) → \(0{,}1n > 2{,}9\) → \(n > 29\) → наименьшее \(n = 30\).

г) \(\frac{2n + 5}{n + 1} = 2{,}01\)
\(2n + 5 = 2{,}01n + 2{,}01\) → \(0{,} -0{,}01n = -2{,}99\) → \(n = 299\).

Пусть в ряду \(n\) двоек и одна пятёрка. Тогда всего чисел: \(n + 1\).
Сумма всех чисел: \(2 \cdot n + 5 = 2n + 5\).
Среднее арифметическое:
\[
\overline{x} = \frac{2n + 5}{n + 1}.
\]

Рассмотрим каждый пункт.

а) При каком наименьшем \(n\) среднее меньше 3?

Решаем неравенство:
\[
\frac{2n + 5}{n + 1} < 3.
\]

Умножим обе части на \(n + 1 > 0\) (так как \(n \geq 1\)):
\[
2n + 5 < 3(n + 1) = 3n + 3.
\]

Переносим все члены в одну сторону:
\[
2n + 5 — 3n — 3 < 0 \quad \Rightarrow \quad -n + 2 < 0 \quad \Rightarrow \quad n > 2.
\]

Наименьшее целое \(n\), удовлетворяющее условию: \(n = 3\).

Проверка:
\(\frac{2 \cdot 3 + 5}{3 + 1} = \frac{11}{4} = 2{,}75 < 3\) — верно.

б) Среднее меньше 2,5

\[
\frac{2n + 5}{n + 1} < 2{,}5.
\]

Умножаем на \(n + 1\):
\[
2n + 5 < 2{,}5(n + 1) = 2{,}5n + 2{,}5.
\]

Переносим:
\[
2n — 2{,}5n < 2{,}5 — 5 \quad \Rightarrow \quad -0{,}5n < -2{,}5.
\]

Делим на \(-0{,}5\) (знак неравенства меняется):
\[
n > 5.
\]

Наименьшее целое \(n = 6\).

Проверка:
\(\frac{2 \cdot 6 + 5}{7} = \frac{17}{7} \approx 2{,}43 < 2{,}5\) — верно.

в) Среднее меньше 2,1

\[
\frac{2n + 5}{n + 1} < 2{,}1.
\]

Умножаем:
\[
2n + 5 < 2{,}1n + 2{,}1.
\]

Переносим:
\[
2n — 2{,}1n < 2{,}1 — 5 \quad \Rightarrow \quad -0{,}1n < -2{,}9.
\]

Делим на \(-0{,}1\) (знак меняется):
\[
n > 29.
\]

Наименьшее целое \(n = 30\).

Проверка:
\(\frac{2 \cdot 30 + 5}{31} = \frac{65}{31} \approx 2{,}097 < 2{,}1\) — верно.

г) Среднее равно 2,01

\[
\frac{2n + 5}{n + 1} = 2{,}01.
\]

Умножаем:
\[
2n + 5 = 2{,}01(n + 1) = 2{,}01n + 2{,}01.
\]

Переносим:
\[
2n — 2{,}01n = 2{,}01 — 5 \quad \Rightarrow \quad -0{,}01n = -2{,}99.
\]

Делим обе части на \(-0{,}01\):
\[
n = \frac{-2{,}99}{-0{,}01} = 299.
\]

Проверка:
\(\frac{2 \cdot 299 + 5}{300} = \frac{598 + 5}{300} = \frac{603}{300} = 2{,}01\) — верно.

Ответы:

а) \(n = 3\)
б) \(n = 6\)
в) \(n = 30\)
г) \(n = 299\)