Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 43.8 Мордкович — Подробные Ответы
а) Используя теорему 1 в §43 учебника, докажите, что при увеличении каждого числа ряда на постоянное число а дисперсия ряда не изменяется. б) Используя теорему 2 в §43 учебника, докажите, что при умножении каждого числа ряда на постоянное число b дисперсия ряда умножается на b2.
а) Прибавим к каждому числу \(a\).
Новое среднее: \(\overline{x} + a\).
Отклонения не меняются:
\((x_i + a) — (\overline{x} + a) = x_i — \overline{x}\).
Значит, дисперсия остаётся прежней.
б) Умножим каждое число на \(b\).
Новое среднее: \(b\overline{x}\).
Отклонения умножаются на \(b\):
\(bx_i — b\overline{x} = b(x_i — \overline{x})\).
Квадраты отклонений — на \(b^2\), поэтому дисперсия умножается на \(b^2\).
а) Даны числа: \(x_1; x_2; x_3; \dots; x_{n-1}; x_n\). Их среднее: \(\overline{x_n}\).
Дисперсия ряда:
\[
\frac{(x_1 — \overline{x_n})^2 + (x_2 — \overline{x_n})^2 + (x_3 — \overline{x_n})^2 + \dots + (x_n — \overline{x_n})^2}{n}
\]
Получились числа:
\(x_1 + a; x_2 + a; x_3 + a; \dots; x_{n-1} + a; x_n + a\).
Среднее значение новых чисел:
\[
\frac{(x_1 + a) + (x_2 + a) + \dots + (x_n + a)}{n} =
\]
\[
= \frac{(x_1 + x_2 + \dots + x_n) + (a + a + \dots + a)}{n} =
\]
\[
= \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} + a = \overline{x_n} + a
\]
Значит, дисперсия нового ряда равна:
\[
\frac{(x_1 + a — (\overline{x_n} + a))^2 + \dots + (x_n + a — (\overline{x_n} + a))^2}{n} =
\]
\[
= \frac{(x_1 — \overline{x_n})^2 + (x_2 — \overline{x_n})^2 + \dots + (x_n — \overline{x_n})^2}{n}
\]
Что и требовалось доказать.
б) Даны числа: \(x_1; x_2; x_3; \dots; x_{n-1}; x_n\). Их среднее: \(\overline{x_n}\).
Дисперсия ряда:
\[
\frac{(x_1 — \overline{x_n})^2 + (x_2 — \overline{x_n})^2 + (x_3 — \overline{x_n})^2 + \dots + (x_n — \overline{x_n})^2}{n}
\]
Получились числа:
\(bx_1; bx_2; bx_3; \dots; bx_{n-1}; bx_n\).
Среднее значение новых чисел:
\[
\frac{bx_1 + bx_2 + bx_3 + \dots + bx_{n-1} + bx_n}{n} =
\]
\[
= \frac{b(x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_{n-1} + x_n)}{n} =
\]
\[
= b \cdot \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = b \cdot \overline{x_n}
\]
Значит, дисперсия нового ряда равна:
\[
\frac{(bx_1 — b \cdot \overline{x_n})^2 + (bx_2 — b \cdot \overline{x_n})^2 + \dots + (bx_n — b \cdot \overline{x_n})^2}{n} =
\]
\[
= b^2 \cdot \frac{(x_1 — \overline{x_n})^2 + (x_2 — \overline{x_n})^2 + \dots + (x_n — \overline{x_n})^2}{n}
\]
Что и требовалось доказать.
