Задачник по алгебре для 7-го класса, написанный Мордковичем и Александровым, является важным инструментом в обучении математике. Этот учебный материал ориентирован на развитие логического мышления и навыков решения задач у школьников. В данном обзоре мы рассмотрим основные особенности и преимущества этого задачника.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 44.12 Мордкович — Подробные Ответы
Постройте график функции \( y = x^2 \). С помощью графика найдите:
а) значения функции при \( x = -2 \), \( x = 2 \)
б) значения аргумента при \( y = 4 \)
в) значения \( x \), если \( y < 4 \), \( y > 4 \)
г) значения \( y \), если \( 0 < x < 2 \)
Функция: \( y = x^2 \)
а) Найдём значения функции при \( x = -2 \) и \( x = 2 \):
\[
x = -2,\quad y = (-2)^2 = 4
\]
\[
x = 2,\quad y = (2)^2 = 4
\]
б) Найдём все значения \( x \), при которых \( y = 4 \):
\[
x^2 = 4
\]
\[
x = \pm 2
\]
в) Определим, при каких \( x \) выполняются неравенства \( y < 4 \) и \( y > 4 \):
\[
y < 4 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 < 4
\]
\[
-2 < x < 2
\]
\[
y > 4 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 > 4
\]
\[
x < -2 \quad \text{и} \quad x > 2
\]
г) Найдём множество значений \( y \), соответствующих \( 0 < x \leq 2 \):
\[
x \in (0; 2] \quad \Rightarrow \quad x^2 \in (0; 4]
\]
\[
0 < y \leq 4
\]
Функция: \( y = x^2 \)
Функция: \( y = x^2 \)
а) Вычислим значение функции при \( x = -2 \):
\[
y = (-2)^2
\]
\[
y = 4
\]
Теперь вычислим значение функции при \( x = 2 \):
\[
y = (2)^2
\]
\[
y = 4
\]
б) Найдём все значения аргумента \( x \), при которых \( y = 4 \). Решим уравнение:
\[
x^2 = 4
\]
\[
x = \sqrt{4} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{4}
\]
\[
x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2
\]
\[
x = \pm 2
\]
в) Определим, при каких значениях \( x \) выполняется неравенство \( y < 4 \). Это означает:
\[
x^2 < 4
\]
\[
x^2 — 4 < 0
\]
\[
(x — 2)(x + 2) < 0
\]
\[
-2 < x < 2
\]
Теперь определим, при каких \( x \) выполняется \( y > 4 \):
\[
x^2 > 4
\]
\[
x^2 — 4 > 0
\]
\[
(x — 2)(x + 2) > 0
\]
\[
x < -2 \quad \text{или} \quad x > 2
\]
г) Рассмотрим промежуток \( 0 < x \leq 2 \). Поскольку функция \( y = x^2 \) возрастает при \( x > 0 \), наименьшее значение \( y \) стремится к \( 0 \) (но не достигает его), а наибольшее — при \( x = 2 \):
\[
x \to 0^+ \quad \Rightarrow \quad y = x^2 \to 0^+
\]
\[
x = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 2^2 = 4
\]
\[
\text{Следовательно, } y \in (0; 4]
\]
\[
0 < y \leq 4
\]
Ответы:
а) При \( x = -2 \) и \( x = 2 \) имеем \( y = 4 \).
б) \( y = 4 \) при \( x = \pm 2 \).
в) \( y < 4 \) при \( -2 < x < 2 \); \( y > 4 \) при \( x < -2 \) или \( x > 2 \).
г) При \( 0 < x \leq 2 \) выполняется \( 0 < y \leq 4 \).
