ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 44.14 Мордкович — Подробные Ответы

Используя выделенную часть графика функции \( y = x^2 \), найдите наибольшее и наименьшее значения функции и ответьте на вопрос, какому промежутку оси абсцисс соответствует выделенная часть:

а) На рис. 37
б) На рис. 38
в) На рис. 39
г) На рис. 40

\[
y_{\text{наим}} = 0, \quad y_{\text{наиб}} = 1, \quad x \in [-1; 1].
\]

\[
y_{\text{наим}} = 0, \quad y_{\text{наиб}} = 9, \quad x \in [-3; 0].
\]

\[
y_{\text{наим}} = 0, \quad y_{\text{наиб}} = 9, \quad x \in [-3; 2].
\]

\[
y_{\text{наим}} = 1, \quad y_{\text{наиб}} = 4, \quad x \in [1; 2].
\]

а) Рассмотрим функцию \( y = x^2 \) на отрезке \( x \in [-1; 1] \). Этот промежуток симметричен относительно нуля, а поскольку график функции \( y = x^2 \) — парабола с вершиной в точке \( (0; 0) \), то именно в этой точке функция принимает своё наименьшее значение на всём множестве действительных чисел. Подставляя концы отрезка, получаем: при \( x = -1 \) значение функции равно \( (-1)^2 = 1 \), а при \( x = 1 \) — также \( 1^2 = 1 \). Внутри отрезка, в точке \( x = 0 \), функция равна \( 0 \). Таким образом, на всём отрезке \( [-1; 1] \) наименьшее значение функции составляет \( y_{\text{наим}} = 0 \), а наибольшее — \( y_{\text{наиб}} = 1 \).

б) Теперь рассмотрим ту же функцию \( y = x^2 \) на отрезке \( x \in [-3; 0] \). На этом интервале переменная \( x \) принимает только неположительные значения. Функция \( y = x^2 \) убывает при \( x < 0 \), поэтому её наибольшее значение достигается в левой крайней точке отрезка, а наименьшее — в правой. Вычислим: при \( x = -3 \) получаем \( y = (-3)^2 = 9 \); при \( x = 0 \) — \( y = 0^2 = 0 \). Поскольку вершина параболы совпадает с правым концом отрезка, других критических точек внутри интервала нет. Следовательно, на этом отрезке \( y_{\text{наим}} = 0 \), а \( y_{\text{наиб}} = 9 \).

в) Перейдём к отрезку \( x \in [-3; 2] \). Он охватывает как отрицательные, так и положительные значения аргумента, а также включает в себя вершину параболы \( x = 0 \). Вычислим значения функции на концах: при \( x = -3 \) имеем \( y = (-3)^2 = 9 \); при \( x = 2 \) — \( y = 2^2 = 4 \). Внутри отрезка, в точке \( x = 0 \), функция принимает значение \( y = 0 \). Сравнивая все три результата — \( 9 \), \( 4 \) и \( 0 \) — видим, что минимальное значение равно нулю, а максимальное — девяти. Поэтому на этом промежутке \( y_{\text{наим}} = 0 \), \( y_{\text{наиб}} = 9 \).

г) Наконец, рассмотрим отрезок \( x \in [1; 2] \). Он целиком расположен справа от нуля, где функция \( y = x^2 \) строго возрастает: чем больше \( x \), тем больше \( y \). Это означает, что наименьшее значение будет достигнуто при наименьшем значении аргумента, то есть при \( x = 1 \), а наибольшее — при наибольшем, то есть при \( x = 2 \). Подставляя, получаем: \( y(1) = 1^2 = 1 \), \( y(2) = 2^2 = 4 \). Вершина параболы (\( x = 0 \)) не принадлежит данному отрезку, поэтому внутри него экстремумов нет. Таким образом, на отрезке \( [1; 2] \) выполняется \( y_{\text{наим}} = 1 \), \( y_{\text{наиб}} = 4 \).

Ответы:
а) \( y_{\text{наим}} = 0 \), \( y_{\text{наиб}} = 1 \) при \( x \in [-1; 1] \);
б) \( y_{\text{наим}} = 0 \), \( y_{\text{наиб}} = 9 \) при \( x \in [-3; 0] \);
в) \( y_{\text{наим}} = 0 \), \( y_{\text{наиб}} = 9 \) при \( x \in [-3; 2] \);
г) \( y_{\text{наим}} = 1 \), \( y_{\text{наиб}} = 4 \) при \( x \in [1; 2] \).