ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 44.18 Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функци у — х2 на заданном отрезке: а) [1; 2]; б) [-2; -1]; в) [0; 1]; г) [-3; 0].

y = x²
а) [1; 2]
унаим = 1, унаиб = 4.
б) [−2; −1]
унаим = 1, унаиб = 4.
в) [0; 1]
унаим = 0, унаиб = 1.
г) [−3; 0]
унаим = 0, унаиб = 9.

дана функция:
\[
y = x^2.
\]

это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке \((0; 0)\). функция убывает на промежутке \((-\infty; 0]\) и возрастает на \([0; +\infty)\). следовательно, на любом замкнутом отрезке \([a; b]\) наибольшее и наименьшее значения достигаются либо на концах отрезка, либо в точке \(x = 0\), если она принадлежит отрезку.

рассмотрим каждый случай отдельно.

а) отрезок: \(x \in [1; 2]\).

на этом отрезке функция возрастает, так как он целиком лежит правее нуля. поэтому:

— наименьшее значение достигается при наименьшем \(x\), то есть при \(x = 1\):
\[
y(1) = 1^2 = 1;
\]

— наибольшее значение — при наибольшем \(x\), то есть при \(x = 2\):

\[
y(2) = 2^2 = 4.
\]

следовательно:
\[
y_{\text{наим}} = 1, \quad y_{\text{наиб}} = 4.
\]

б) отрезок: \(x \in [-2; -1]\).

этот отрезок целиком лежит слева от нуля, где функция убывает. значит, при движении от \(-2\) к \(-1\) значения функции уменьшаются. поэтому:

— наибольшее значение — при \(x = -2\):
\[
y(-2) = (-2)^2 = 4;
\]
— наименьшее значение — при \(x = -1\):
\[
y(-1) = (-1)^2 = 1.
\]

итак:
\[
y_{\text{наим}} = 1, \quad y_{\text{наиб}} = 4.
\]

в) отрезок: \(x \in [0; 1]\).

отрезок начинается в вершине параболы и продолжается в область возрастания. поэтому:

— наименьшее значение — при \(x = 0\):
\[
y(0) = 0^2 = 0;
\]
— наибольшее значение — при \(x = 1\):
\[
y(1) = 1^2 = 1.
\]

результат:
\[
y_{\text{наим}} = 0, \quad y_{\text{наиб}} = 1.
\]

г) отрезок: \(x \in [-3; 0]\).

отрезок заканчивается в вершине параболы и расположен в области убывания функции. следовательно:

— наибольшее значение — при \(x = -3\):
\[
y(-3) = (-3)^2 = 9;
\]
— наименьшее значение — при \(x = 0\):
\[
y(0) = 0^2 = 0.
\]

итог:
\[
y_{\text{наим}} = 0, \quad y_{\text{наиб}} = 9.
\]

ответ:
а) \(y_{\text{наим}} = 1,\ y_{\text{наиб}} = 4\)
б) \(y_{\text{наим}} = 1,\ y_{\text{наиб}} = 4\)
в) \(y_{\text{наим}} = 0,\ y_{\text{наиб}} = 1\)
г) \(y_{\text{наим}} = 0,\ y_{\text{наиб}} = 9\)