ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 44.25 Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение функции \( y = -x^2 \) на заданном луче:

а) \( (-\infty;\,0] \)
б) \( (-\infty;\,3] \)
в) \( [2;\,+\infty) \)
г) \( (-\infty;\,-3] \)

а)
\( y = -x^2 \) на луче \( (-\infty; 0] \)
Вершина параболы \( y = -x^2 \) находится в точке \( (0; 0) \).
На луче \( (-\infty; 0] \) функция \( y = -x^2 \) возрастает.
Наибольшее значение достигается в точке \( x = 0 \).
\( y(0) = -(0)^2 \)
\( y(0) = 0 \)

Ответ: 0

б)
\( y = -x^2 \) на луче \( (-\infty; 3] \)
Вершина параболы \( y = -x^2 \) находится в точке \( (0; 0) \).
Точка \( x = 0 \) принадлежит лучу \( (-\infty; 3] \).
Так как парабола направлена ветвями вниз, наибольшее значение достигается в вершине.
\( y(0) = -(0)^2 \)
\( y(0) = 0 \)

Ответ: 0

в)
\( y = -x^2 \) на луче \( [2; +\infty) \)
Вершина параболы \( y = -x^2 \) находится в точке \( (0; 0) \).
На луче \( [2; +\infty) \) функция \( y = -x^2 \) убывает.
Наибольшее значение достигается в точке \( x = 2 \).
\( y(2) = -(2)^2 \)
\( y(2) = -4 \)

Ответ: -4

г)
\( y = -x^2 \) на луче \( (-\infty; -3] \)
Вершина параболы \( y = -x^2 \) находится в точке \( (0; 0) \).
На луче \( (-\infty; -3] \) функция \( y = -x^2 \) возрастает.
Наибольшее значение достигается в точке \( x = -3 \).
\( y(-3) = -(-3)^2 \)
\( y(-3) = -(9) \)
\( y(-3) = -9 \)

Ответ: -9

а) \(y = -x^2\) на луче \((-\infty; 0]\)

Функция \(y = -x^2\) представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при \(x^2\) отрицателен. Вершина этой параболы находится в начале координат — точке \((0; 0)\).

Рассмотрим поведение функции на луче \((-\infty; 0]\), то есть на всех значениях \(x\), не превышающих ноль. На этом промежутке аргумент \(x\) увеличивается от \(-\infty\) до \(0\). Поскольку парабола симметрична относительно оси \(y\) и ветви направлены вниз, на левой половине (при \(x \leq 0\)) функция возрастает: чем ближе \(x\) к нулю, тем больше значение \(y\).

Следовательно, наибольшее значение на этом луче достигается в правом конце промежутка — в точке \(x = 0\), которая входит в луч (скобка квадратная справа).

Вычислим:
\[
y(0) = -(0)^2 = 0.
\]

Никакое другое значение на этом луче не может быть больше нуля, так как для любого \(x \ne 0\) имеем \(x^2 > 0\), а значит, \(y = -x^2 < 0\).

Ответ: 0.

б) \(y = -x^2\) на луче \((-\infty; 3]\)

Как и прежде, график функции — парабола с вершиной в точке \((0; 0)\), ветви направлены вниз. Луч \((-\infty; 3]\) включает в себя все числа, меньшие или равные трём. В частности, он содержит точку \(x = 0\), где находится вершина параболы.

Поскольку вершина принадлежит рассматриваемому промежутку, а парабола достигает своего глобального максимума именно в вершине, наибольшее значение функции на этом луче совпадает с её значением в вершине.

Вычислим:
\[
y(0) = -(0)^2 = 0.
\]

Для любых других \(x \in (-\infty; 3]\), отличных от нуля, значение \(y = -x^2\) будет отрицательным, то есть меньше нуля. Следовательно, максимум действительно достигается в \(x = 0\).

Ответ: 0.

в) \(y = -x^2\) на луче \([2; +\infty)\)

Луч \([2; +\infty)\) состоит из всех чисел, начиная с 2 и до бесконечности. Вершина параболы \((0; 0)\) не принадлежит этому промежутку, так как \(0 < 2\).

На правой стороне от вершины (при \(x \geq 0\)) функция \(y = -x^2\) убывает: по мере увеличения \(x\) значение \(y\) становится всё меньше (более отрицательным). Следовательно, на промежутке \([2; +\infty)\) функция также убывает.

При убывающей функции наибольшее значение достигается в левом конце промежутка, то есть при наименьшем допустимом \(x\), который равен 2.

Вычислим:
\[
y(2) = -(2)^2 = -4.
\]

Для любого \(x > 2\) значение \(y = -x^2 < -4\), поэтому \(-4\) действительно является наибольшим значением на данном луче.

Ответ: \(-4\).

г) \(y = -x^2\) на луче \((-\infty; -3]\)

Луч \((-\infty; -3]\) включает все числа, не превышающие \(-3\). Вершина параболы \((0; 0)\) находится правее этого промежутка и не принадлежит ему.

На левой стороне от вершины (при \(x \leq 0\)) функция \(y = -x^2\) возрастает: чем ближе \(x\) к нулю, тем больше значение \(y\). Однако на нашем луче \(x\) не может превышать \(-3\), то есть мы «остановлены» в точке \(x = -3\).

Поскольку функция возрастает на этом промежутке, её наибольшее значение достигается в правом конце луча — в точке \(x = -3\) (она входит в луч, так как скобка квадратная).

Вычислим:
\[
y(-3) = -(-3)^2 = -(9) = -9.
\]

Для любого \(x < -3\) (например, \(x = -4\)) получаем \(y = -16 < -9\), то есть значение ещё меньше. Следовательно, максимальное значение на этом луче равно \(-9\).

Ответ: \(-9\).